第十八章 第2课 特殊的平行四边形——正方形的判定 课时练习 2022-2023学年人教版数学八年级下册

第2课　特殊的平行四边形——正方形的判定 ★知识探究 ◎知识点 正方形的判定 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形. 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F. 求证：四边形CFDE是正方形. 2.如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，分别将△ABD，△ACD沿AB，AC对折，得到△ABE，△ACF，延长EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF是正方形. 证明：∵AD⊥BC， 3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F. (1)求证：四边形AEDF是菱形； (1)证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD． ∴∠EAD＝∠EDA． ∴EA＝ED． ∴平行四边形AEDF是菱形． (2)当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形. 4.如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE. 求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE； 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD． ∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝AP＝BQ＝CE. ∴△DFE≌△APF≌△BQP≌△CEQ(SAS). ∴EF＝FP＝PQ＝QE. 求证：(2)四边形EFPQ是正方形. 证明：(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形. ∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ. ∵∠AFP＋∠APF＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°. 基础过关 1.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等　b．一组对边平行且相等 c.一组邻边相等　 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c. 则正确的是( ) A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 2.如图，▱ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是AC＝BD(只需添加一个即可). 能力提升 3.如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H. (1)求证：AD⊥EF. (1)证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. 又AD＝AD，∴△AED≌△AFD(AAS). ∴AE＝AF.又∠EAD＝∠FAD，∴AD⊥EF. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $