专题09 数列通项an与前n项和Sn的关系（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】冲刺2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题09 数列通项与前n项和的关系 目录一览 一、梳理必备知识 二、基础知识过关 三、典型例题讲解 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 六、高考真题衔接 一、梳理必备知识 1.数列中与之间的关系： 注意通项能否合并。 2.等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。 （2）等差中项：若三数成等差数列 （3）通项公式： 或 （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②下标为等差数列的项，仍组成等差数列； ③数列（为常数）仍为等差数列； ④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。 ⑤若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。 3.等比数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 （2）等比中项：若三数成等比数列（同号），反之不一定成立。 （3）通项公式： （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②为等比数列，公比为（下标成等差数列,则对应的项成等比数列） ③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列； ④若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列. 二、基础知识过关 一、单选题 1．已知数列的前项和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知数列的前项和,那么它的通项公式（    ） A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1 3．若的前n项和，则（    ） A．86 B．112 C．156 D．84 4．已知数列的前项和，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．设数列的前项和，则的值为（    ） A．13 B．16 C．29 D．32 6．已知数列的前项和为．若，则（    ） A．512 B．510 C．256 D．254 7．已知数列的前n项和，满足，则＝（　　） A．72 B．96 C．108 D．126 8．已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设数列的前n项和为，则__. 10．已知数列的前n项和，则______． 11．若数列的前项和,则它的通项公式______________． 12．在数列中，是其前n项和，且，则数列的通项公式______． 三、典型例题讲解 【典例1】若数列的前项和，求数列的通项公式． 【典例2】已知数列的前项和为，对任意都有成立，且.求数列的通项公式 【典例详解】 【典例1】      【分析】根据计算可得； 【详解】解：因为， 所以当时，； 当时，，显然当时，不满足上式． 故数列的通项公式为 【典例2】 【分析】由和的关系，得到的递推公式，证明数列是等比数列，由数列的通项公式求数列的通项公式. 【详解】因为对任意都有成立，且，当时，， 时，，所以，即，又， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列，可得，则，（注意不能合并） 所以. 解题技巧：使用公式时，注意不要忽略1的情况能否和的情况合并。 四、解题技巧实战 【技巧实战1】 1．数列的前项和为 (1)求数列的通项公式； 【技巧实战2】 2．已知数列的前项和， （1）求数列的通项公式； 【技巧实战3】 3．已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； 【技巧实战4】 4．数列的前项和为，，. (1)求数列的通项； 五、跟踪训练达标 1．（2023秋·福建福州·高二校考期末）已知数列的前n项和为 （1）当取最小值时，求n的值； 2．（2022·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求值和的通项公式； 3．（2023秋·福建福州·高二校考期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； 4．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第三十二中学校校考期末）已知数列的前项和为．且． （1）求数列的通项公式； 5．（2022秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； 6．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； 7．（2022·北京·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有． (1)求数列的通项公式； 8．（湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期3月第一次联考数学试题）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； 9．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； 10．（2023·山