5.3.1函数的单调性（第一课时）-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.1 函数的单调性 第一课时 一 二 三 教学目标 理解导数与函数的单调性的关系 掌握利用导数判断函数单调性的方法 能利用导数的方法解决相关的单调性问题 复习回顾 基本初等函数的导数公式： 导数的四则运算法则 复习回顾 复合函数的导数法则 一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 结构特点 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 复习回顾 新课引入 在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 本节我们就来讨论这个问题. 复习巩固： 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 （1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； （2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； 函数的单调性的定义 y x o a b y x o a b 若 f (x) 在G上是增函数或减函数， 增函数 减函数 则 f (x) 在G上具有严格的单调性。 G 称为单调区间 单调函数的图像特征 新知探究：导数与函数的单调性的关系 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 情境 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点. t h a O b (1) t h a O b (2) 问题1 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 新知探究：导数与函数的单调性的关系 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点， 运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加， 即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水， 运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小， 即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0. t h a O b (1) t h a O b (2) 新知探究：导数与函数的单调性的关系 问题2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题，可以发现: 当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增； 当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减. 追问 这种情况是否具有一般性呢？ 在区间(a,b)上， h′(t)>0 在区间(a,b)上， h′(t)<0 在区间(a,b)上， h(t)单调递增 在区间(a,b)上， h(t)单调递减 猜测 问题3 观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？ 新知探究：导数与函数的单调性的关系 x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 我们逐一的来说一说 新知探究：导数与函数的单调性的关系 x y O y＝x x y O y′＝1 在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0 新知探究：导数与函数的单调性的关系 x y O y＝x2 x y O y ′＝2x 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 新知探究：导数与函数的单调性的关系 x y O y ＝x3 x y O y ′ ＝3x2 在(-∞, 0)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 新知探究：导数与函数的单调性的关系 x y O x y O 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞,