5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1） —函数的极值 1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 复习回顾 2.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤： 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第1步，确定函数f (x)的定义域； 观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? x y O a b (1) (2) 思考2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 问题1 如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小. 函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大. 探究新知 追问：y=f(x)在这些点处的导数值是多少？ 在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 f ′(a)=0 f ′(b)=0 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极值点与极值的定义： 图中的极大值点为_____________ 极小值点为_____________ 极大值为_____________ 极小值为_____________ b,d a,c,e f(b) ,f(d) f(a) , f(c) , f(e) 问题2 极大值一定大于极小值吗？ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值． 极小值 极大值 不一定，例如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是函数的极值点. 注意：对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 问题3 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 即是 f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的_____________条件. 必要不充分 例5 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) x y O -2 2 归纳方法 一般地，可按如下方法求函数y=f (x)的极值： 解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时： ＋ － x0 － ＋ x0 x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 课本P92 解： x f′(x) f(x) 课本P92 解： x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞) f′(x) f(x) 课本P92 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) 课本P92 解： x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞) f′(x) f(x)