8.5 空间直线、平面的平行-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

第八章立体几何初步收 8.5空间直线、平面的平行 更点和难点 课标要求 1.了解基本事实4和等角定理 重点：直线、平面平行的判定和性质」 2.从空间点、直线、平面位置关系的定义和基本事实出发，借助长 难点：直线与平面、平面与平面平行的性质 方体并通过直观感知了解空间中直线与直线，直线与平面、平 定理的发现过程：直线、平面平行的 面与平面的平行关系，归纳出平行的判定定理，性质定理。 判定和性质的应用 3.能利用所学结论证明空间基本图形平行关系的简单命题， -01必备知识梳理， 基础梳理 知识点1直线与直线平行 L.基本事实4（平行线的传递性】 习划重点 平行于同一条直线的两条直线平行. 1,基本事实4是证明空 (1)符号语言：a∥c,b∥c→a∥b. 间两条直线平行的重要依据 (2)图形语言：如图所示. 与方法 (3)应用：判定与证明空间中两条直线平行. 2.基本事实4是平面几 2.等角定理 何中平行结论在空间几何中 的推广 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相 3.应用基本事实4证明 等或互补 空间两条直线平行时，常与平 (1)符号语言：如图1，OA∥)A'且同向，OB∥0B'且同向→ 行四边形、中位线等平面知识 ∠AOB=∠A'OB':如图2，OA∥OA'且同向，OB∥OB'且反 结合 向→>∠AOB十∠AO'B'=180°. 4,空间等角定理是平面等 (2)图形语言：如图1、图2所示. 角定理在空间几何中的推广， 5.空间等角定理是求异 B 面直线所成角的理论依据 B B B 卫提个醒 A 在平面几何中，也有与基 图1 图2 本事实4相同的结论：在同一 (3)应用：判定与证明两个角相等或互补 平面内，如果两条直线都和第 (4)等角定理的推论 三条直线平行，那么这两条直 ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且 线也互相平行 方向相同或相反，那么这两个角相等. 163 国回合手们高中数学必修第二册．RalA(浙江专用) ②如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且 一组对应边的方向相同，另一组对应边的方向相反。那么这两个 角互补． 知识点2直线与平面平行____ 目敲黑板 1.直线与平面平行的判定定理的内容 （1)文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平直线与平面平行的判定 行。那么该直线与此平面平行。可简记为“线线平行。则线面平行”定理可简述为“线线平行，则 （2)图形语言：如图所示。线面平行”，定理充分体现了 等价转化思想，将“线面平行” b_/问题转化为“线线平行”问题． a— P划重点 （3)符号语言：a∈ a，bCa·a/∥b⊃a/a。 线面平行的判定定理包 2.直线与平面平行的画法 在画直线与平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平个条件：1，直线a在平面 α外。即a∈ a12。直线b在平 面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形内的一条线段平α内，即bCa13。两直线a，b 行或与平行四边形的一条边平行，如图所示。平行，即a∥b。三个条件缺一 不可， 提个醒． ab/线面平行的判定定理的 3.直线与平面平行的判定定理的证明作用是证明线面平行，解题的 已知：a∈ a，bCa，a/b，求证：a/a。关键是在平面内找到一条直 证明：假设直线a与平面α不平行。已知a∈ 线与已知直线平行。 α，则a与α相交，可设a∩α=A，如图所示。bNⅳ□敲黑板 下面只要证明a∩a=A不可能即可。直线与平面平行的性质 ∵a//b，定理可简记为”线面平行。则 线线平行”，该定理体现了转 ∴a，b可确定一个平面，设为平面β。 化思想，将“线线平行”问题转 又a∩a=A，aCβ，A∈a，∴A∈β，A∈a。 化为“线面平行”问题。 又a∥b，bCa，A∈a， ∴平面α与平面β中含有公共直线b，以及不在直线b上的公利重点 直线与平面平行的性质 共点A。 定理中有三个条件；1.直线a 由基本事实1的推论知平面α与平面β重合。 和平面α平行，即a∥a；2.直 _∴aCa，这与已知a∈ α相矛盾， 线a在平面β内，即a⊂βx ∴a∩α=A不可能，∴a/a。 4.直线与平面平行的性质定理的内容 3.平面a'β相交，即a∩β=b． 三个条件缺一不可。 （1)文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平 面与此平面相交。那么该直线与交线平行，可简记为“线面平行， 164 第八章立体几何初步么 则线线平行” 提个醒 (2)图形语言：如图所示. 如图，过直线4可以作出 无数个平面，它们与平面a分 别相交于直线b,,,,即 (3)符号语言：a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b. a可以和a内的无数条直线平 5.直线与平面平行的性质定理的作用 行，但不是平行于a内的任意 一条直线.平面a内几是不与 (1)作为