8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

目图是甲高中教学必修，第二册．RJA(浙江专用) 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 01也备知识幢理 —甚⑧⑩⑨_____ 知识点1平面的概念、画法及表示 1.平面的概念□敲黑板 _平面是最基本的几何概念它是一个只加以描述而未下定义除了用平行四边形来 的原始概念。如课桌面，黑板面，平静的水面等给我们以平面的直表示平面外，有时根据需要也 观感觉。平面是无边界的，可以向四面八方无限延伸，这就是人们可用其他平面图形来表示平 常说的平面的无限伸展性。平面无大小厚薄之分．面，如圆，三角形，梯形等。 2.平面的画法 2.如果一个平面被另一 与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面面遮挡住，为了增强它的 立体感，我们常把被遮挡部分 的一部分来表示平面。我们常用矩形的直观图，即平行四边形来用虚线画出来，如图所示。 表示平面。如图1，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画 成横向；如图2，当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 竖向。 图1图2- 3.平面的表示 我们常用希腊字母a，β。γ等表示平面，如平面a、平面β平面 γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代 表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英 文字母作为这个平面的名称。图1中的平面a，也可以表示为平面 ABCD，平面AC或者平面BD． 152 第八章 立体几何初步么9 4.空间中点、线、面位置关系的符号语言 以点作为元素，直线、平面都是由点构成的集合，因此，我们 可以借用集合中的符号来表示空间中点、线、面的位置关系 点P在直线a上，记作P∈a: 点Q不在直线a上，记作Q安a: 冒敲黑板 点A在平面a内，记作A∈a: 对三个基本事实的理解 点B不在平面a内，记作B任a: 1,“不在一条直线上"“三 直线a在平面a内，记作aCa; 个点”是基本事实1的重点字 直线l不在平面a内，记作l中a: 眼，如果没有前者，那么只能 直线a,b相交于点A,记作a∩b=A: 说“有一个平面”，但可能不唯 平面a,3相交于直线l,记作α∩3=L. 一：如果将“三个点”改成“四 知识点2平面的三个基本事实及其作用 个点”，那么过四个点不一定 存在一个平面，由此可见，“不 1.基本事实1的三种语言描述及推论 在一条直线上的三个点”是确 文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 定一个平面的恰到好处的条 图形语言：如图所示。 件.这里的“有且只有”包括存 在性和唯一性两个方面，“有” A 表示“平面存在”，“只有”表示 符号语言：若ABC,则有且只有一个平面&，使A∈a,B∈ 平面唯一 a,CEa. 2.从集合的角度看基本 2.基本事实2的三种语言描述及作用 事实2，即如采一条直线（集 合)上有两个点（元素）属于一 文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条 个平面（集合），那么这条直线 直线在这个平面内 就是这个平面的真子集，这个 图形语言：如图所示. 结论阐述了两个观点：一是整 条直线在平面内，二是直线上 的所有点在平面内. 符号语言：A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→lCa. 3.基本事实3表达了不 基本事实2的作用：①判定或证明直线在平面内；②由直线 重合的平面与平面有两种位 在平面内判定直线上的点在平面内. 置关系：两个平面相交于一条 3.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直 直线和两个平面平行.事实 上，对于不重合的两个平面， 线”，可以得到如下三个推论： 如果两个平面有一个公共点， 推论1 推论2 推论3 那么它们必定还有另外一个 公共，点，只要找出这两个平面 ·A P 的两个公共点，就找出了它们 aBa℃ 的交线 153 重避点手圆高中数学必修第二册UA(浙江专用) 续表 图拓视野园 推论1 推论2 推论3 基本事实1，基本事实3 中“有且只有一个”的含义要 若A任a,则A和a确定a∩b=P→有且只有一a∥h→有且只有一个 一个平面a 个平面a,使aCa,bCa 准确理解这里的“有”是说图 平面&，使aCa,Ca 形存在，“只有一个”是说图形 经过一条直线和这条直 唯一，强调的是存在和唯一两 线外一点，有且只有一个 经过两条相交直线，有且经过两条平行直线， 个方面，因此“有且只有一个” 只有一个平面 有且只有一个平面 平面 必须完整地使用。 提个醒 4.基本事实3的三种语言描述及作用 在应用基本事实1的推 文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有 论1时，要注意“直线外一 且只有一条过该点的公共直线。 点”.推论2中“相交”两字不 图形语言：如图所示. 能少，否则命题不一定成立 符号语言：P∈a,且P∈3→a∩B=l,且 基本事实1和三个推论都可 P∈. 以用来确定平面， 基本事实3的