8.3 简单几何体的表面积与体积-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

第八章立体几何初步么图9 8.3简单儿何体的表面积与体积 重点和难点 课标要求 重点：柱体、锥体、台体，球的表面积和体积公式。 知道棱柱、棱锥、校台、球的表面积和体积 难点：球的体积公式的推导 的计算公式，能用公式解决简单的实际问题， 口01必备知识梳理。 甚础梳理 知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.正方体、长方体的表面积 冒敲黑板 正方体、长方体的表面积就是其各个面的面积之和. 直棱柱、正棱台、正棱锥的 如图1，长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积： 侧面积公式之间的关系 =c S长方体=2(ab+bc+ac). 号(c+台5aw 2chc分别为上，下底面 图1 图2 周长，h为直棱柱的高，h'为 如图2，棱长为a的正方体的表面积： 正棱台和正校雏的斜高). S正方体=6a2. 2.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一 边等于棱柱的底面周长，如图1. 同拓视野岁 1.多面体是由若千个平 面多边形围成的空间儿何体 2.多面体的表面积就是 图1 图2 其各个面的面积之和 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成，如图2 3.求多面体的表面积体 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成，如图3. 现了立体问题平面化的转化 思想 图3 135 国避手册高中数学必修第二册？UA(浙江专用) 3.棱柱、棱锥、棱台的表面积 同敲黑板 棱柱的表面积：S棱柱=S十2S:: 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱锥的表面积：S棱锥=S树十S底； 之间的关系 棱台的表面积：S校台=S烟十S上底十S下底： 从棱柱、校雏、棱台的形 知识点2棱柱、棱锥、棱台的体积 状可以看出，当棱台上底放大 到与下底相同时，棱台成为棱 1.棱柱的体积 柱：当棱台上底缩为一点时， (1)棱柱的高：棱柱的两底面之间的距离，即从一底面上任意 棱台成为校锥，因此只要分别 一点向另一底面作垂线，该点与垂足（垂线与底面的交点）之间的 令S=S和S'=0便可以从 棱台的体积公式得到棱柱和 距离。 棱锥的体积公式，从而棱柱和 (2)棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面面积S和高h的 棱锥的体积公式可以统一为 乘积，即V檢=Sh(如图). 棱台的体积公式。 S=S Vut Sh 3h(s+ S■0 s5'+S) Van=子sh 2.棱锥的体积 (S,S分别为枚台上、下 底面面积，为棱柱、棱雏、棱 (1)棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底 台的高) 面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 园划重点 (2)棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面面积S和高h的 棱柱与棱锥的体积之间的关系 乘积的5，即V=Sh(如图1. 一个三校柱可以分解成 三个体积相等的三棱雏，如图 所示 图1 图2 3棱台的体积 (1)棱台的高：棱台的两底面之间的距离，即从一底面上任一 点向另一底面作垂线，该点与垂足（垂线与底面的交点）之间的 距离。 结论：棱锥的体积等于同 (2)棱台的体积公式：V6=h(S+√SS+S),其中S,S 3 底等高的被柱体积的宁 分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高（如图2）. 知识点3圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 1.圆柱的表面积和体积 (1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形. 如图1，圆柱的底面半径为，母线长为，那么这个矩形的一 136 第八章 立体几何初步么 边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧 同敲黑板 面积为SW柱侧=2πrl. 1.圆柱、圆锥、国台的侧 面积之间的关系 A=(r'+r记 r'=/ r'=0 Sa-2arl r 图1 图2 圆柱可看作上、下底面半 (2)圆柱的表面积：St=S十2Sg=2πrl十2π产2=2πr(r十). 径相等的特殊圆台：圆雏可看 (3)如图2，圆柱的体积：V圆性=Sh=πh(S为底面面积，h 作上底面半径为0的特殊 國台， 为圆柱的高且h=l). 2.国柱、回锥、圆台的体 2.圆锥的表面积和体积 积之间的关系 (1)圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形 从圆柱、圆维、圆台的形 如图1，圆锥的底面半径为r,母线长为1，那么这个扇形的弧 状可以看出，当圆台上底放大 长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 到与下底相同时，圆台成为圆 S利缘=πr, 柱：当圆台上底缩为一点时， 圆台成为圆锥，因此只要分别 令S=S和S=0便可以从 圆台的体积公式得到圆柱和 圆锥的体积公式，从而圆柱和 图1 图2 國锥的体积公式可以统一为 (2)圆锥的表面积：S锥=Sw十S底=πrl十π=πr(r十). 圆台的体积公式 5=S (3)如图2，圆锥的体积：V=}S= 3产h(S为底面面 Va -Sh √Ss+sh S=0 积，h为圆锥的高且h=√一产). Vm=