7.3 复数的三角表示-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

重避点手圆高中数学必修第二册UA(浙江专用) 7.3复数的三角表示 重点和难点 课标要求 重点：复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几 通过复数的几何意义了解复数的三角表 何意义。 示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系， 难点：复数的三角表示 了解复数乘，徐运算的三角表示及其几何意义 -01必备知识梳理-。 基础梳理 知识点1复数的三角表示式 1,复数的三角表示式 同敲黑板园 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻 Z:a+bi l.将复数？=a十i(a, 画向量方向的角来表示复数 b∈R)化为三角形式=r(cos0 般地，任何一个复数=a十i都可以表示 十isin)时，要注意以下两点： 成r(cos0+isin0)的形式. (1)r=√a+b 概念名称 概念的说明 (2)cos0=4,sin0=2 模r r是复数：的模，r=√a+b 其中B终边所在象限与点(a, 0是以x轴的非负半轴为始边，向量O乙所在射线（射线OZ)为 b)所在象限相同.当a=0,b> 辐角0 终边的角，且cos0=4,sin0= 0时，arg=受， r(cos0十isin0)叫作复数z=a十bi的三角表示式，简称三角形 2.每一个不等于零的复 三角形式 式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 数有唯一的模与辐角的主值， 并且由它的模与辐角的主位 2.辐角的主值 唯一确定，因此，两个非零复 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些 数相等当且仅当它们的模与 值相差2x的整数倍.例如，复数i的辐角是受十2x,其中及可以取 辐角的主值分别相等. 任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任 意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤0<2π范围内 的辐角0的值为辐角的主值.通常记作arga,即0≤arg<2π.例 P提个醒7 如，arg1=0,arg=受，arg(-1）=,arg(一iD= 设w=一号十受.则 知识点2复数乘法运算的三角表示及其几何意义 ①w”=1,w24+1=m,w+2=w 1.复数乘法运算的三角表示 (n∈N,):②w2=o:③1+w+ 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦公式、余弦公式，可 w2=0. 102 第t章复散么组 以得到 日划重点 =r(cos 6+isin 6).rz (cos 02 +isin 62) ￥=-1和(-1)=1的 =rira(cos a+isin 6 (cos 62+isin 62 几何意义 =rira[(cos 6cos 62-sin 0sin 6)+i(sin 0cos 0:+ 1设=对=i=c0s登十 cos 6 sin 2) =rirz[cos(01+02)+isin(0+02)], isin受，作与z1,经对应的向 r(cos 6+isin 0).r2 (cos 62+isin 62)=rir2[cos(+ 量OZ,OZ,然后把向量OZ 0)+isin(0+)]. 绕原点O按逆时针方向旋转 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的 受·得到一个长度为1，韬角为 辐角等于各复数的辐角的和. x的向量O2,则O立即为积 2.复数乘法运算的几何意义 1=一1所对应的向量， 两个复数，2相乘时，可以像如图所示那样，先分别画出与 2.设=4=一1=c0sx十 ,对应的向量O乙，OZ,然后把向量OZ绕点O按逆时针方向 isin元，作与，刘对应的向量 旋转角0（如果0<0，就要把OZ绕点O按顺时针方向旋转角 OZ,OZ,然后把向量OZ绕 a),再把它的模变为原来的2倍，得到向量O立，O立表示的复 原点O按逆时针方向旋转π， 数就是积≈12.这是复数乘法的几何意义. 得到一个长度为1，辐角为0 的向量O2,则O2即为积：3· =1所对应的向量 敲黑板 1.复数三角形式的乘法 公式记忆口诀 积的模等于模的积，积的 3.根据两个复数乘法运算的三角表示及其几何意义，可以推 辐角等于幅角的和」 广到n(n≥2，n∈N)个复数相乘的情况，即 2.三角形式下的复数乘 ≈12…gm=n(cos0+isin)·r2(cosh+isin0)·…· 法运算的思路 r.(cos 0.+isin 0) 利用复数的三角形式进行 =rr2…rn[cos(a++…十0n)+isin(a+0+… 复数的乘法运算时，直接用乘 +0n)]. 法法则n(cosa+isin0)· r (cos &+isin )=rire [cos(+ 特别地，当=2=…=m=r(cos0+isin)时，[r(cos0+ 0)+isin(a十A)]进行计算 isin 0)]"=r"(cos no+isin ne). 知识点3复数除法运算的三角表示 设≈1=r(cos0+isin),2=r2(co