7.2 复数的四则运算-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

国避手圆高中数学必修第二册尺UA(浙江专用) 7.2复数的四则运算 重点和难点 课标要求 重点：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律 学握复数代数表示式的四则运算，了解复 复数加、诚运算的几何意义」 数加、减运算的几何意义。 难点：复数减法、除法的运算法则 01一必备知识梳理◆ 基础梳理 知识点1复数的加法运算及其几何意义 1,复数的加法法则 冒敲黑板幻 设=a十i,2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么 对复数的加法法则的理解 1.两个复数相加，类似于 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个多项式相加：实部与实部 2.复数的加法满足的运算律 相加，虚部与虚部相加，很明 对任意，2,3∈C,有 显，两个复数的和仍然是一个 (1)交换律：1十2=2十. 确定的复数，但是两个虚数的 和不一定是一个虚数，如知 (2)结合律：(1十2)十3=81十(2十). (-i)+i=0. 3.复数加法的几何意义 2.当12都是实数时， 在复平面内，设=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R)对应的向 把它们看作复数时的和就是 量分别为OZ,OZ,则OZ=(a,b),OZ=(c,d0.以OZ,OZ对应 这两个实数的和 3.复数的加法可以推广 的线段为邻边作平行四边形OZZZ2(如图所示)，则由平面向量 到多个复数相加的情形：各复 的坐标运算，可得O立-OZ+OZ=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+ 数的实部分别相加，虚部分别 d),即z=(a+c)+(b十d)i,即对角线OZ对应的向量就是复数 相加 (a十c)十(b十l)i对应的向量. 国划重点 两个复数分别对应两个 向量，则可通过平移，使第二 个向量的起点与第一个向量 的终，点重合，连接第一个向量 这说明两个向量OZ与OZ的和就是与复数(a十)+(b十d)i 的起点和第二个向量的终点， 所得向量就是两个复数的和 对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是 对应的向量 复数加法的几何意义， 92 第七章复教么 知识点2复数的减法运算及其几何意义 1.复数的减法法则 冒敲黑板 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运 对复数的减法法则的理解 算，即把满足(c十di)+(x十yi)=a十i的复数x十yi叫作复数 1.两个复数相减，类似于 a+bi减去复数c十di的差，记作(a十bi)一(c十di). 两个多项式相减：把复数的代 根据复数相等的定义，有c十x=a,d十y=b,因此x=a一c, 数形式看成关于“”的多项 式，则复数的减法类似于多项 y=b-d,所以x+yi=(a一c)+(b-d)i,即(a+bi)-(c+di)= 式的减法，只需要“合并同类 (a一c)十(b-d)i.这就是复数的减法法则： 项”就可以了. 2.复数减法的几何意义 2.很明显，两个复数的差 两个复数1=a十bi,2=c十i(a,b,c,d∈R)在复平面内对 是一个确定的复数，但是两个 应的向量分别是OZ,OZ,那么这两个复数的差1一2对应的向 虚数的差不一定是一个虚数， 量是OZ-OZ,即向量Z乙， 如(3+2i)-2i=3. 如果作O立=Z乙，那么点Z对应的复数就 是1一2（如图所示）. 国敲黑板 这说明两个向量OZ与OZ的差Z乙就是可 实数集内桑法、乘方的一 些重要结论和运算法则在复 与复数(a一c)十(b一d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照 数集内不一定成立，如： 向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义： (1)当∈R时，有= 知识点3复数的乘法运算 2;当：∈C时，有x∈R,而 1.复数的乘法法则 ∈C,故和不能进行比 设刘=a十i,2=c十di是任意两个复数，那么它们的积(a+ 较.例知，当=1十i时，= bi)(c+di)=ac++bci-adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2,22=2i,此时2和2i不能进 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所 行比较 得的结果中把换成一1，并且把实部与虚部分别合并即可. (2)当m,n∈R时，有m+ n=0m1=n=0:当，2∈ 2.复数乘法的运算律 C时，十号=0→1=2=0， 对于任意，2，∈C,有 但1=2=0→十2=0. (1)交换律：12=21. 需注意：=0的充要 (2)结合律：(312)28=21(228). 条件是1=0或2=0.依据 (3)分配律：31(2十)=12十13. 复数的乘法运算可得1 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任 09x121=0台|x1||2= 意复数之，刘，2和正整数，n,有”=m+",(")”=m, 0-1=0或2=0. (12)”=8. 宫敲黑板 知识点4复数的除法运算