7.1 复数的概念-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

第七章、复数 7.1复数的概念 重点：复数的概念，代数形式和几何意义。 难点：复数的扩充过程和向量表示。个复数相等的含义 01也备知识施理 —⑨础梳理——___ 圆识点1数系的扩充与复数的概念 回划重点 1.复数的引入 为了解决x^2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题。我数系逐步扩充的过程 们引人了一个新数ⅱ。规定、 数系的每一次扩充都与 （1)i^2=-1，即i是方程x^2+1=0的根； 实际需求密切相关，例如，计 数的需要⇒自然数(正整数和 （2)实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运表示两段爱车3气→负数 算律仍然成立。 测量，分配中的等分⇒分数 在此规定下，实数α与i相加，结果记作a＋i；实数b与i相如解方程3x=5 乘，结果记作bi，实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作（有理数）结果用分数表示 a+bh注意所有实数以及虚数都可以写成a+bi(a，b∈R)的形式，一无理数一负数的开方方程=-i→ 从而这些数都在扩充后的新数集中。 复数。 2.复数的概念 我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数液黑板 单位。全体复数构成的集合C={a+bi|a，b∈R)叫作复数集。这=-1，但并没有i= 样，方程x^x+1=0在复数集C中就有解x=±i了。±-1. 3.复数的表示2.这里只提加法与乘法 复数通常用字母ε表示，即x=a＋bi(a，b∈R)。以后不作特运算，没有提减法与除法，并 不是复数的运算对减法与除 殊说明时，复数x=a+bi都有a，b∈R，其中a与b分别叫作复数法不成立，而是为了后面讲复 ε的实部与虚部．数的四则运算时，分别把减法 4.复数的分类与除法定义为加法与乘法的 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=道运算。 84 第七章复散收组 b=0时，它是实数0：当b≠0时，它叫作虚数：当a=0且b≠0时， 园记方法 它叫作纯虚数 l.若复数x=a十i(a 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R军C b∈R)是虚数，只需b≠0. 复数=a十bi可分类如下： 2.若复数x=a十i(a b∈R)是实效，只需b=0. 实数(b=0), 复数 3.若复数x=a十i(a, 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数）： b∈R)是纯虚数，需a=0且 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示 b≠0. 虚数集 目敲黑板 敏朱 1.应用复数相等的充要 纯虚数 实数集 条件时，应先将复数化为之 a十bi(a,b∈R)的形式，即分 知识点2复数相等 离实部和虚邮。 2.只有当a=c且b=d 在复数集C={a十bia,b∈R}中任取两个数a+bi,c十di(a, 时才有a十bi=c十di,若a=c b,c,d∈R),我们规定：a十bi与c+di相等当且仅当a=c且b= 和b=d有一个不成立，则a+ 即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两 bi≠c+di. 3.由a+bi=0(a,b∈R) 个复数才相等 可得a=0且b=0. 知识点3复数的几何意义 巴提个醒 1.复平面 1.复平面内各象限内的 点都表示虚数，且点Z的坐标 根据复数相等的定义，可得复数：一4十i二一对应有序 是(a,b),而不是(a,bi). 2.复平面内的虚轴上的 实数对(a,),而有序实数对(a,b)一对应，平面直角坐标系中 单位长度是1，而不是 3.实轴上的点都表示实 的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一 数：虚轴上的点徐原点外都表 对应关系 示纯虚数， 目敲黑板 如图，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数之=a十i可用点 理解复数与复平面内的点 Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 一一对应的注意事项 复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。 1.复数的实质是有序实 数对 (城轴)y 2.复平面内的点Z的坐 b外-·Z:a十bi 除惊点外，虚 标是(a,b),而不是(a,i).也 轴上的点都表← 就是说，复平面内的虚轴上的 小显数 (实) 单位长度是1，而不是1 0业& 3.当a=0,b≠0时，a十 实轴上的点都表小实数 bi=0十bi=bi是纯虚数，所以 例如，复平面内的点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示 虚轴上的点(0，b)(h≠0)都表 85 国雕食手细高中教学必修第二册A(浙江专用) 实数2，虚轴上的点(0，一1)表示纯虚数一i,点（一2,3）表示虚数 示纯虚数 4.复数x=4十i中的2 -2十3i等. 书写时应小写：复平面内点 2.复数的几何意义一与点对应 Z(a,b)中的Z,书写时应大写. 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应：反过来，复 同敲黑板 平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的 L,复数