6.4 平面向量的应用-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

篮六至平面向量及其应围X人OO 6.4平面向量的应用 01-也备知识顺理 —甚画位理—— 知识点1平面几何中的向量方法 1.平面向量应用问题的常见形式 □敲黑板 ()证明线段相等；要证明AB=CD，只要证明|AB|=|CD|1，平面几何的许多性质。 如平行，垂直，夹角、长度、三 即可．点共线等，都可以由向量的线 （2)证明直线或线段平行：要证明AB//CD，只要证明存在实性运算表示出来，因此向量是 数λ，使得AB=λCD或x_1y_2-x_2y_1=0，即利用向量共线定理或向几何问题的一种有效 量共线的坐标表示证明。 工具． 2.当向量与平面直角坐 （3)证明三点共线：要证明A，B，C三点共线，只要证明存在标系结合以后，向量的运算就 实数λ，使得AB=λAC或AB=λBC或AC=λBC，即利用向量共可以完全转化为代数的计算， 这就为我们解决几何问题带 线定理先说明共线，再说明有一个公共点即可。来极大的方便，所以在解决平 （4)证明线段垂直(证明四边形是矩形或正方形，证明三角形面几何问题时，要注意先建立 是直角三角形等)；要证明AB⊥CD，只需证明AB·CD=0或适当的平面直角坐标系，再利 x_1x_2+y.y_2=0. 用向量的方法求出答案。 （5)求与夹角有关的问题：逆用向量的数量积公式cosα= α·’。或利用坐标表示为cosα=3+y2= a||b| (6)求线段的长度：利用公式|a|=\sqrt{la}|^z=\sqrt{x}+y^z或公式 |a±b|=\sqrt{a}±b)^Σ=\sqrt{a}^2±2a·b+b． 49° 国随食手细高中教学必修第二册？UA(浙江专用) 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算，研究几何元素之问的 (运算 关系，如距离、夹角等问题 翻译 把运算结果“翻译”成几何关系 知识点2向量在物理中的应用举例 1.向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的位移、力、速 目敲黑板 度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量的数量积 用向量来研究物理问题 的物理背景.因此，向量可以解决一些物理问题. 时应注意两个方面：一方面是 如何把物理问题转化成数学 (1)向量与力 问题，也就是将物理量之间的 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点， 关系抽象成数学模型：另一方 也可以没有共同的作用点，但是力的三要素为大小、方向和作用 面是如何利用建立起来的数 点.所以用向量的知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同 学模型解释和回答相关的物 一作用点上 理现象 (2)向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减 法运算.用向量解决速度、加速度和位移等问题，所用的知识主要 是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐标来运算。 (3)向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积， 实质是力和位移两个向量的数量积，W=F·s=|F|scos(0为 F和s的夹角).动量w实际上是数乘向量. 2.用向量方法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题. (2)建立以向量为主体的数学模型 (3)通过向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型： (4)用数学模型中的数据解释物理问题， 知识点3余弦定理 卫提个醒 1.余弦定理及其证明 1.余弦定理指出了任意 (1)余弦定理的表示 三角形中三条边与其中一角 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两 的余弦值之间的一个关系式， 边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 描述了任意三角形中边与角 50 第六章平面向量及其应用收出 a2=b2+c2-2bccos A, 的一种数量关系 b=a2+c2-2accos B, 2.在余弦定理中，每一个 c2=a2+b-2abcos C. 等式都包含了四个量，因此已 知其中的三个量，利用方程思 (2)余弦定理的证明（利用向量法证明） 想可求得第四个量 如图，在△ABC中，AB,BC,CA的长分别 白拓视野 为c,a,b .AC=AB+BC. 余弦定理与勾股定理的关系 由余弦定理知： ..AC.AC=(AB+BC).(AB+BC)=AB2+2AB.BC+ 当a十6=c时，cosC BC2=AB'+2ABIBCI cos(180-B)+BC*=-2cacos B+a= 0,则C=90°，反之亦然： ?,即2=a2+2-2 accos E. 当a十<2时，cosC< 同理可证a2=+c2-2 bccos A,c2=a2+b-2 abeos C 0,则C是纯角，反之亦然； 2.余弦定理的变式 当a°+b>2时，osC> I)osA=十玩4，osB=E+- 0,则C是锐角，反之亦然.