6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

第六章平而向量及其应用么出组 6.3平面向量基本定理及坐标表示 重点和难点 课标要求 重点：平面向量基本定理、平面向量1.理解平面向量基本定理及其意义， 的坐标表示及平面向量运算的2.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示 坐标表示 3,会用坐标表示平面向量的加，减运算与数乘运算。 难点：平面向量基本定理唯一性的 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 证明. 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件 门-01必备知识梳理一◆ 基础梳理 知识点1平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 色敲黑板7 如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 对平面向量基本定理的理解 平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,2，使a=1e1十2e2. 1,基底不唯一，只要是同 若e,e2不共线，我们把{e,e2}叫作表示这一平面内所有向量的 一平面内的两个不共线向量 一个基底. 都可以作为基底。同一非零向 2.定理的证明 量在不同基底下的分解式是 (1)存在性，即存在实数入1,2，使a=1e十入2e2.如图1，对于 不同的 2.基底给定时，分解形式 向量a和一个基底{e,e},首先将a,e,e3都平移到同一个起点 唯一.1，入2是被a,e1,e唯 O,且令e=OA,e=OB,a=OC,然后过点C分别作OA和OB所 确定的数值 在直线的平行线，交OA,O所在的直线于M,N两点，如图2，则 3.若{e,e)是同一平面 有OM=a1e1,ON7=2ea,所以a=A1e1十入2e2. 内所有向量的一个基底，则当 N a与e1共线时，a=0:当a与 B e共线时，A=0:当a=0时， e 入1=12=0. 图1 图2 4.由于零向量与任意向 (2)唯一性，即对任一向量a,存在唯一一对实数入1，入2，使a 量都是共线的，因此零向量不 λ1e1十λ2e2. 能作为基底中的向量。 事实上，若存在入1，A2∈R,,∈R,且a=入e1十入2e2,a ③拓视野 he1十2e2, n个不共线的向量e1, 则a1e1十入2e2=e1十2e2,即(A1一)e=(一入：)e2. e,…,e与n个实数A1,,… ,e1与e2不共线，入1一=0，一入2=0. 入所组成的向量1e1+e .入1=，2=2 十…十入e。叫作向量的线性 29 国雕点手曲高中数学必修第二册？UA(浙江专用) 3.定理的实质 组合，当向量a是向量e1, 由平面向量基本定理可知，可将任一向量a在给定基底{e, e2,…,ew的线性组合，即a= }的条件下进行分解一平面内的任一向量都可以用平面内任意 入1e1十2e2十…十入uem时，我 不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质 们称向量a可以分解成向量 4.定理的功能 e,e,…,en的线性组合，其中 {e,e,…,e}是关于向量a的 平面向量基本定理体现了转化的数学思想方法，在用向量解 一个基底 决几何问题时，我们可以适当地选择基底，将问题涉及的向量向 基底化归，使问题得以解决。 知识点2平面向量的正交分解及坐标表示 习划重点 1.平面向量的正交分解 1.引入向量的坐标后，可 使向量运算代数化，将数和形 (1)给定平面内两个不共线的向量e1,e2,由平面向量基本定 紧密结合起来，从而将许多几 理可知，平面上的任意向量a均可分解为两个向量入1e,入2e2,即 何问题转化为代数运算. a=λ1e1十入2e2,其中向量A:e1与e1共线，向量ze2与e2共线 2.正交分解可看成是平 (2)在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个 面向量基本定理的特例，平面 向量基本定理是把平面内的 向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解 任意一个向量分解为两个不 (3)如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解。 共线的向量，正交分解则是这 两个不共线向量互相垂直的 特殊形式 □敲黑板 1.左栏①式是根据平面 2.平面向量的坐标表示 向量基本定理得出来的，因此 (1)平面向量的坐标表示 xy的值是唯一确定的 2.向量的坐标表示是继向 如图1，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两 量的几何表示和字母表示后的 个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个 又一表示方法，向量的坐标表 向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y使得 示实际上是向量的代数表示 3.注意书写格式，向量的 a=xi+yj. ① 坐标表示中含有等号，即a= 这样，平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定，我们把有 (x,y),不能写成a(xy). 序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a=(x,y. ② 4.几个特殊向量的坐标： i=(1.0),j=(0,1),0=(0,0).