6.2 平面向量的运算-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

重避点手细高中数学必修第二册尺UA(浙江专用) 6.2平面向量的运算 重点和难点 误标要求 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算 重点：向量加、减运算的运算法则及其几何 及运算法则，理解其几何意义 意义，向量数乘运算的定义及其几何2.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算法则，理解其 意义，向量数量积的概念与运算律 几何意义，理解两个平面向量共线的含义， 难点：对向量加法运算法则与减法运算法 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义， 则的定义的理解，对向量数量积的 4.通过物理中“功”等实例理解平面向量数量积的概念及其物理 概念及运算律的理解，向量数量积的 意义，会计算平面向量的数量积 应用 5.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义， 6.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1向量加法的定义与加法法则 同敲黑板 1.向量加法的定义 课本中对向量加法是采 如图，已知非零向量a,b,在平面内取任意a 用三角形法则来定义的，这种 一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫作a与b 定义对两个向量共线同样适 的和，记作a十b,即a十b=AB+BC=AC 用，但是当两个向量共线时， 求两个向量和的运算，叫作向量的加法， 平行四边形法则就不适用了， 2.向量加法的三角形法则 还需注意在处理某些特殊问 (1)根据向量加法的定义求向量和的方法叫作向量加法的 题时，平行四边形法则有一定 的优越性，因此向量加法的三 三角形法则！ 角形法则和平行四边形法则 (2)利用三角形法则表示任意两个向量和的一般步骤： 都应熟练掌握 ①固定一个向量，将另一个向量平移，使其起点与被固定的 向量的终点重合： ②以这两个向量为边构造出三角形，则以被周定的向量的起 点为起点，被平移的向量的终点为终点的向量，即为所求的两个 向量的和. 3.向量加法的平行四边形法则 (1)如图，以同一点A为起点的两个已 B 知向量a,b,以AB,AD为邻边作□ABCD. a+b 则以A为起点的对角线AC(AC是□ABCD A 8 第六整平面向量及其应围入二0O 的对角线)就是a与b的和，即AC=a+b，我们把这种作两个向量 和的方法叫作向量加法的平行四边形法则。 (2)力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理 模型． （3)对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0=0+a=a。 4.向量加法的运算律[提个醒 （1)向量加法的交换律 a＋b=b+a。 1.我们可以从位移的物理 意义理解向量加法的交换律： 如图1.作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作□ABCD。则质点从点A出发，方案 AC=AB+BC=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a、①先走过的位移为向量a。再 D走过的位移为向量b。方案②： Pac c先走过的位移为向量b，再走 ba-b′/bA′a+bC过的位移为向量a，则方案①② A′a’Bⅵ___b中质点一定会到达同一终点 图22，多个向量的加法运算可 （2)向量加法的结合律按照任意的次序与任意的组合 (a+b)+c=a+(b+c)。进行，如(a+b)+(c+d)= 如图2，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+e，(b+d)+(a+e)；a+b+c+ AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+e)。所以(a+b)+d+e-[d+(a+o]+(b+e。 c=a+(b+c)。 知识点2向量减法的定义与减法法则□敲黑板 1.相反向量1.对相反向量的理解 我们把与向量a长度相等且方向相反的向量叫作a的相反①相反向量也是从两个 方面来定义，即“模长”与“方 向量。记作一a． 向”，这是考虑向量问题的基 规定零向量的相反向量仍为零向量，且(1)-(-a)=a；(2)a+本出发点。 （-a)=(-a)+a=0；(3)若a，b是互为相反的向量，则a=-b，（2)相反向量必为平行 b=-a，a+b=0.向量。 2.对向量减法的认识 2.向量减法的定义 （1)两个向量的差仍是一 向量α加上向量b的相反向量，叫作a与b的差，即a-b=向量 a+(-b)，求两个向量差的运算叫作向量的减法。(2)向量减法是向量加法 3.向量减法的几何意义的逆运算。 （1)非零不共线向量a，b的差为a-b。 如图，在平面内任取一点O，作OA=a.OB=b。则BA=OA-划重点 1.在向量减法的三角形 OB=a-b。即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终法则中，BA表示a-b。强调了 点的向量。这是向量减法的几何意义。差向量的“箭头”指向被减向 9 重难点手册高中数学必修第二册A(浙江专用) 量.即作非零向量a,b的差向 量a一b时，可以简记为“共起 b 点，连终点，指向被减向量” 图1