8.6 空间直线、平面的垂直-【重难点手册】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）浙江专用

口回合到甲高中教学．必修，第二册RlA(浙江专用) 8.6空间直线、平面的垂直 01也备知识幢理 —簋⑧v理——____ 知识点1直线与直线垂直______记方法 求异面直线所成的角分 1.两条异面直线所成的角的定义 为四步：作，证，求、下结论。 如图，直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线1)平移：选择适当的点， a’/a，b′/b。这两条相交直线a′，b′所成的角叫作异面直线a与b平移异面直线中的一条或两 所成的角(或夹角)。 条，使其成为相交直线，这里 的点通常选择特殊位置的点． b___如线段的端点或中点，也可以 是异面直线中某一条直线上 的一个特殊点。 （2)证明：证明作出的角 2.异面直线所成的角的范围就是要求的角． 异面直线所成的角必须是锐角或直角，其范围是0°≤0≤90．（3)计算：求角度，常利用 3.两条异面直线垂直的定义 三角形． （4)下结论：若求出的角 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异是锐角或直角，则它就是所求 面直线互相垂直。两条异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b。 异面直线所成的角；若求出的 角是钝角，则它的补角就是所 两条直线垂直。既包括相交垂直，也包括异面垂直。求异面直线所成的角。 知识点2直线与平面垂直___ 回划重点。 1.直线与平面垂直的概念 (1定义定义中的“任意一条直 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直“所有直线”是同义词， 但与“无数条直线”不同。定义 线l与平面α互相垂直，记作l⊥a。直线l叫作平面α的垂线，平的实质就是直线与平面内的 面α叫作直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P所有直线都垂直 叫作垂足。 174 第八章 立体几何初步么 (2)画法 冒敲黑板 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四 直线1La等价于对任意 边形的一边垂直，如图所示。 的直线mCa,都有l⊥m:并 且过一点和已知平面垂直的 直线有且只有一条：过一点和 一条直线垂直的平面有且只 有一个 2.直线与平面垂直的判定定理和一个结论 里记方法 (1)判定定理 若a⊥a,bCa,则a⊥b.简 ①文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂 述为“若线面垂直，则线线垂 直，那么该直线与此平面垂直， 直”，这是我们判定两条直线 ②符号语言：mCa,nCa,m∩n=A,l⊥m,1⊥1→l⊥a. 垂直时经常使用的一种重要 方法 ③图形语言：如图所示. 冒敲黑板 1.直线与平面垂直的判 定定理有五个条件：mCa,n a,m∩n=A,l⊥m,l⊥n.这五 ④该定理可简记为：若线线垂直，则线面垂直. 个条件缺一不可 2.直线与平面垂直的判 ⑤该定理的作用：证明线面垂直. 定定理中“相交”二字是不能 (2)重要结论 省的 如果两条平行直线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直 D提个醒 线也垂直于这个平面. 判定定理的五个条件中， 3.直线与平面所成的角 有时只需写三个即可，如图， (1)斜线及射影的概念 AB⊥BC,AB⊥BD,且BC∩ 如图，一条直线PA与一个平面α相交，但不和这个平面垂 BD=B→AB⊥平面BCD(此 处可者略BCC平面BCD, 直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫作斜 BDC平面BCD,但其他三条 足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和 一定是缺一不可的) 斜足A的直线AO叫作斜线在这个平面上的射影， (2)直线与平面所成的角的定义 园敲黑板 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直 理解直线与平面所成的角的 注意事项 线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线PA与平面a所 1.斜线简单来说就是与 成的角. 平面相交但不垂直的直线 175 重滩点手册高中数学必修第二册A(浙江专用) (3)直线与平面所成的角的范围 2.一条斜线与平面所成 ①一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角的 的角是这条斜线与平面内所 大小是0° 有直线所成的角中最小的角 ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. 园划重点 ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角 斜线与平面所成的角的范 的取值范围是(0°，90). 围是0°<0<90：直线与平面所 ④直线与平面所成的角的取值范围是[0°，90门. 成的角的范围是0°≤0≤90 4.直线与平面垂直的性质 图拓视野 (1)直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的其他性质 符号语言 1,如果一条直线垂直于一 自然语言 图形语言 个平面，那么这条直线垂直于 垂直于同一个平面的 这个平面内的任意一条直线. 两条直线平行 a⊥a,b⊥a→a∥b 2.垂直于同一条直线的 两个平面互相平行. (2)性质定理的作用 3.两条平行直线中