重难突破04 平行四边形之折叠问题-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

重难突破4 平行四边形之折叠问题 一、【知识回顾】 【思维导图】 【折叠问题方法技巧】 在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段长度中的适当运用。 二、【考点类型】 考点1：矩形折叠问题 典例1：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕． (1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长； (2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理求出BF，CF的长，设EF=DE=x，则CE=4-x，得出22+（4-x）2=x2，解方程即可得解； （2）设EC=3x，则FC=4x，得出EF=DE=5x，设AF=AD=y，则BF=y-4x，在Rt△ABF中，得出（8x）2+（y-4x）2=y2，则y=10x，得出（10x）2+（5x）2=（）2，解出x的值，求出AD和AB的长，则答案可求出． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5， 由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF， ∴BF==3， ∴FC=BC-BF=5-3=2， 设EF=DE=x，则CE=4-x， ∵CF2+CE2=EF2， ∴22+（4-x）2=x2， 解得：x=， ∴DE=， ∴AE=； （2）解：∵EC：FC=3：4， ∴设EC=3x，则FC=4x， ∴EF= =5x， ∴DE=5x， ∴AB=CD=8x， 设AF=AD=y，则BF=y-4x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2， ∴（8x）2+（y-4x）2=y2， 解得y=10x， 在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2， ∴（10x）2+（5x）2=（）2， 解得x=或x=-（舍去）， ∴AD=10x=2，AB=8x=， ∴矩形ABCD的周长为（2+）×2=． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 【变式1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF． (1)求证：△EGF≌△EDF； (2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由翻折和矩形的性质可知∠EGF＝∠D＝90°，EG＝ED，可通过HL证明Rt△EGF≌Rt△EDF； （2）根据点F是CD的中点知：CF＝CD，BF＝，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可列出方程． (1) 证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴∠BGE＝∠A，AE＝GE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠EGF＝∠D＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴EA＝ED， ∴EG＝ED， 在Rt△EGF与Rt△EDF中， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）． (2) 由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴GF＝DF， ∵点F是CD的中点， ∴GF＝DF＝CF＝， 在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD，又由折叠可知AB＝GB， ∴GB＝CD， ∴BF＝GB+GF＝， 在Rt△BCF中，由勾股定理得： ∴， ∵CD＞0， ∴CD＝． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应边相等是解题的关键． 【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝， （1）求AD的长； （2）求FG的长 【答案】（1）AD= 9；（2）FG=7.5 【分析】（1）设CE，则BE，在Rt△CEG和Rt△AGD中，分别求得CG，GD=，再利用CG+GD=CD=15，构造方程求得的值，即可求解； （1）设，利用，构造方程求得的值，即可求解． 【详解】（1）∵CE＝， ∴设CE，则BE， ∴BC=AD=CE+ BE， ∵△AGE是由△ABE翻折得到的， ∴GE= BE，AG=AB=15， 在Rt△CEG中，由勾股定理可知： CG=， 在Rt△AGD中，由勾股定理可知： GD=， ∵CG+GD=CD=15， ∴， 解得：， AD； （2）由（1）知：CG=3，GD=12， 设， ∵△AHF是由△ADF翻折得到的， ∴， ∵，即， ∴， 解得：，即DF， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质