专题04 特殊平行四边形的性质与判定-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

专题04 特殊平行四边形的性质与判定 一、【知识回顾】 【思维导图】 【知识清单】 矩形的性质： 因为ABCD是矩形 几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵ABCD是矩形 ∴AC=BD 矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) …………… 菱形的性质： 因为ABCD是菱形 几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA (3) ∵ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ∠ADB=∠CDB 菱形的判定： 四边形四边形ABCD是菱形. 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∵DA=DC ∴四边形ABCD是菱形 (2) ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 (3) ∵ABCD是平行四边形 ∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 正方形的性质： 因为ABCD是正方形 几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA ∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵ABCD是正方形 ∴AC=BD AC⊥BD ∴…………… 正方形的判定： 四边形ABCD是正方形. 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 又∵AD=AB ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (2) ∵ABCD是菱形 又∵∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (3)∵ABCD是矩形 又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形 二、【考点类型】 考点1：矩形的性质（对角线相等，90°） 典例1：（2023春·全国·八年级专题练习）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． (1)若∠ADB=40°，求∠E的度数． (2)若AB=3，CE=5，求AE的长． 【答案】(1)20° (2) 【分析】（1）连接AC，根据矩形的性质可得△ABC≌△BAD，从而得到∠ACB=∠ADB=40°，再由BD=CE，可得AC=CE，从而得到∠E=∠CAE，即可求解； （2）根据勾股定理可得BC=4，从而得到BE=9，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∵AB=BA， ∴△ABC≌△BAD， ∴∠ACB=∠ADB=40°， ∵BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB=∠E+∠CAE， ∴∠E=20°； （2）解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°， ∵AB=3， ∴， ∴BE=BC+CE=9， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式1】（2022春·广东广州·八年级广州市第一一三中学校考期中）如图，四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8． （1）尺规作图：作∠DAC的平分线AE，与CD交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求点E到线段AC的距离． 【答案】（1）图见详解；（2）点E到线段AC的距离为3． 【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD、AC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的二分之一为半径画弧，交于一点，然后与点A连接，则问题可求解； （2）过点E作EF⊥AC于点F，由题意易得AC=10，DE=EF，进而可得，设，则有，然后根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）过点E作EF⊥AC于点F，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵AD＝6，CD＝8， ∴， ∵AE平分∠DAC， ∴DE=EF， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则有， ∴在Rt△EFC中，由勾股定理可得， 解得：， ∴EF=3，即点E到线段AC的距离为3． 【点睛】本题主要考查勾股定理、角平分线的性质定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质定理及矩形的性质是解题的关键． 【变式2】（2023秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，矩形中，，，是上不与和重合的一动点，过点分别作和的垂线，垂足为，；的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值． 【答案】是，． 【分析】连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可． 【详解】解：的值是定值，定值为， 如