类型九 二次根式的有理化运算-2022-2023学年八年级数学下册题型突破提高（苏科版）

类型九、二次根式的有理化运算 【解惑】 计算：___________． 方法：分子分母同乘以，再进行计算即可。 【融会贯通】 1．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则；③；④已知，则；⑤． 以上结论正确的有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④ 2．设，，，则x，y，z的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，求下列代数式的值． (1)． (2)． 【知不足】 1.有依次排列的一列式子：，，，，，…小红对式子进行计算得： 第1个式子：； 第2个式子：…… 根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8个式子为；②对第n个式子进行计算的结果为；③前100个式子的和为；④将第n个式子记为，令，且，则正整数．小红得到的结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.阅读下面的材料，并解决问题． ； ； (1)观察上式并填空：　 　． (2)观察上述规律并猜想：当n是正整数时，　 　．（用含n的式子表示，不用说明理由） (3)请利用（2）的结论计算： ①　 　； ②． 3．化简求值：已知，，求的值． 4．两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题： (1)化简： ___________； (2)比较与的大小关系； (3)计算：． 【一览众山小】 1．阅读下面问题： ； ； ，… 试求： (1)的值； (2)（n为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算： 2．我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，因此二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化 根据以上材料，解答下列问题： (1)比较大小用“”、 “”或“”填空； (2)已知，，求的值； (3)计算： 3．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简： ； ； ； （2）化简：； （3）已知，，求的值. 4．阅读下列材料,然后回答问题: 在进行类似于二次根式的运算时,通常有如下两种方法将其进一步化简: 方法一: 方法二: (1)请用两种不同的方法化简: ; (2)化简: . 5．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，；， 以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）请化简； （2）矩形的面积为3+1，一边长为﹣2，则它的周长是多少？ （3）化简＝　 　． 【温故为师】 1．（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 2．材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简． 例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±： 材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）； 请根据材料解答下列问题： (1)= ；= ． (2)化简： ++…+． 3．先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______． (2)（4）分将下列式子进行分母有理化： ①______；        ②______． (3)类比（2）中②的计算结果，计算： ． 4．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有