课后提升练(二十) 直线与平面垂直（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

课后提升练(二十)　直线与平面垂直 [对应学生用书P154] 1．下列命题正确的是(　　) ①⇒b⊥α；　　　　　②⇒a∥b； ③⇒b∥α； ④⇒b⊥α. A．①②　　　　　　　 B．①②③ C．②③④ D．①②④ A　解析：①②正确，③不正确，当a⊥α且a⊥b时，有b∥α或b⊂α；④不正确，当a∥α，a⊥b时，有b与α相交或b∥α或b⊂α. 2．如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 C　解析：如图，连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，即AC是MA在平面ABCD内的射影，根据“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”，得BD⊥MA.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交． 3．(多选题)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论错误的是(　　) A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥n，m∥α，则n∥α C．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线 D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n BCD　解析：对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确．对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误．对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系为平行或相交或异面，故C错误．对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系为平行或异面，故D错误． 4．已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，则异面直线A1C1与B1C所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：如图，连接A1D和C1D， ∵B1C∥A1D， ∴∠DA1C1或其补角为异面直线A1C1与B1C所成角． 又A1D、DC1、A1C1为正方体各面上的对角线， ∴A1D＝DC1＝A1C1，∴△A1DC1为等边三角形， ∴∠C1A1D＝60°，即异面直线A1C1与B1C所成的角为60°. 5．(多选题)如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，则下列结论中正确的是(　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ABC　解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；由于AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故B正确；由于AC⊥平面SBD，设AC∩BD＝O，则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，同理SC与平面SBD所成的角为∠CSO，∴SA＝SC＝，又O为AC的中点，∴∠ASO＝∠CSO，∴C正确．D显然不正确． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________． 4　解析：∵PA⊥平面ABC， ∴△PAC，△PAB为直角三角形，又∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形， 又BC⊥AC，PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC， ∴BC⊥PC，即△PBC为直角三角形． 7．如图所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．则直线SD与平面ABC的位置关系为________． 垂直　解析：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 则在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC. 8．已知三棱锥S­ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥平面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD＝______，SD与平面ABC所成角的正切值为________． 2　　解析：如图，连接AD， ∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点， ∴AD＝2×＝，又SA⊥平面ABC， ∴SA⊥AD，∠SDA为SD与平面ABC所成的角， ∴SD＝＝2，tan ∠SDA＝＝＝. 9．如图所示的三棱锥P­ABC中，PA、PB、PC两两垂直． (1)求证：PA⊥BC； (2)求证：点P在平面ABC上的射影为△ABC的垂心． 证明：(1)∵PA、PB、PC两两垂直， ∴PA⊥PB，PA⊥PC， 又PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC， ∴PA⊥平面PBC，由线面垂直的定义可知PA⊥BC. (2)设点P在平面ABC上的射影为H，连接AH，则PH⊥平面ABC， ∴PH⊥BC， 又由(1)知AP⊥BC，又AP∩PH＝P， ∴BC⊥平面APH，∴BC⊥AH， 同理可证：BH⊥AC，CH⊥AB， ∴H为△ABC的垂心． 10．如图，在四棱锥P­ABCD，PA⊥PB，