专题02 勾股定理-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

专题02 勾股定理 一、【知识回顾】 【思维导图】 【勾股定理知识清单】 1.勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式： 1）a²=c²- b² 2）b²=c²- a² 2.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 【勾股定理的证明知识清单】 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 方法一：，，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 方法三：，，化简得证 【勾股数知识清单】 1.勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 2.常见的勾股数：如；；；等 扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）； 2）（为正整数） 3）（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 【勾股定理的逆定理知识清单】 1.内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较， ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 【勾股定理的方法技巧】 1.方程勾股，利用勾股定理构建方程求解 2.等面积法 二、【考点类型】 考点1：勾股定理 典例1：（2023春·湖南长沙·八年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）如图，在中，为的中点，且，交于点，，，，求的长． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用勾股定理求出，最后根据线段中点的概念求解即可． 【详解】∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∵在中，为的中点， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理和线段中的的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用角平分线平分角，得到，利用平行线的性质，得到，从而得到：，即可得到：； （2）利用角平分线的性质，得到，利用勾股定理求出的长，再根据，，求出的长，再利用勾股定理，求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵分交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，分交于点，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握有角平分线和平行线，必有等腰三角形，是解题的关键． 【变式2】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在中，，垂足为D，点E是线段AD上的点，且，． (1)求证：； (2)若，，求BD的长． 【答案】(1)见解析 (2)BD=12． 【分析】（1）利用SAS即可证明△BDE≌△ADC，由全等三角形的性质可证明∠EBD=∠CAD； （2）利用勾股定理易求AD的长，再由DE=DC，即可求出BD的长． （1） 证明：∵AD⊥BC， ∴∠BDE=∠ADC=90°． ∵AD=BD，DE=DC， ∴在△BDE和△ADC中 ， ∴△BDE≌△ADC， ∴∠EBD=∠CAD； （2） 解：∵∠ADC=90°，AC=13，DE=5即DC=5， ∴AD==12， ∵△BDE≌△ADC， ∴BD=AD=12． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键在于证明△BDE≌△ADC． 【变式3】（2022春·广西南宁·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长． 【答案】AD=． 【分析】连接AC．在Rt△ABC中，由勾股定理求出．在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长即可． 【详解】解：连接AC． ∵∠B=90°， ∴． ∵AB=BC=2， ∴ ∵∠D=90°， ∴． ∵CD=1， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 考点2：勾股定理的证明 典例2：（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角