重难突破03 平行四边形之构造中位线问题-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

重难突破3 平行四边形之构造中位线问题 一、【知识回顾】 【思维导图】 二、【考点类型】 考点1：连接构造中位线 典例1：（2021·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为________． 【答案】135° 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可． 【详解】解：连接BD， ∵E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝2， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， 又∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键． 【变式1】（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，P、Q分别是、的中点，则的最小值为_____． 【答案】5 【分析】延长到，使，连接，则，，当、F、E在同一直线上时，最小，最小值为．根据P、Q分别是、的中点，得到，，的最小值为． 【详解】解：∵ ∴ 延长到，使，连接， 则，， 当、F、E在同一直线上时， 最小，最小值为． 在中， 即最小为10， ∵P、Q分别是、的中点， 的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称-最小值问题，熟练运用轴对称的性质和中位线定理是解题的关键． 【变式2】（2022秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）如图，在平行四边形中 ，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点 ，点为的中点 ，连接、． （1）猜想则、的关系是___________； （2）的最大值与最小值的差为_________． 【答案】          【分析】（1）根据三角形中位线的性质“平行于第三边且等于第三边的一半”即可获得答案； （2）取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，确定的最大值以及最小值，结合（1）的结论即可解决问题． 【详解】解：（1）如下图，连接， ∵点为的中点 ，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，且； （2）如图，取的中点M，连接，过点A作于N． ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵点M为的中点，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， 由（1）可知，， ∵点G在上， ∴的最大值为的长，最小值为AN的长，即的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为：． 故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确添加辅助线． 【变式3】（2020·全国·九年级专题练习）如图，在菱形中，，点、分别为边、的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接、，交于点，根据三角形的中位线定理知，在菱形中，，易知，解直角三角形OBC知BO=BC∙sin60°=,从而得证． 【详解】证明：如图，连接、，交于点， 、分别是、的中点， ， 在菱形中，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质及解直角三角形，熟练掌握有一个角为60°的特殊菱形的性质是解题的关键． 考点2：角平分线+垂直构造中位线 典例2：（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图所示，在中，M是的中点，平分于N点，且，则________． 【答案】3 【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点D． ∵，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴，， ∴N是的中点． ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线． 【变式1】（2021春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，边长分别为．P为的平分线上一点，且，M为的中点，则的值是__________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线平分角，以及垂直得到的两个直角相等，证明，得到，为的中点，利用三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， ∵于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形