专题03 平行四边形的性质与判定-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

专题03 平行四边形的性质与判定 一、【知识回顾】 【思维导图】 【平行四边形的性质导图】 【平行四边形的判定导图1】 【平行四边形的判定导图2】 【平行四边形性质与判定知识清单】 平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180° 平行四边形的判定： . 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 二、【考点类型】 考点1：平行四边形的边，角性质 典例1：（2022秋·上海·九年级开学考试）如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分和，cm． (1)求平行四边形ABCD的周长． (2)如果cm，求PC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线可得，，由平行线的性质及等量代换得出，，依据等角对等边可得cm，cm，即可求出平行四边形的周长； （2）由（1）可得，，利用平行线的性质得出，结合各角之间的数量关系可得，在直角三角形中利用勾股定理即可得出结果． （1） 解：∵BP、CP平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴cm，(cm)， ∴(cm)， ∴平行四边形的周长为：(cm)； （2） 解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，cm， ∴(cm)． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式1】（2022秋·四川达州·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10． （1）求AB的长； （2）求平行四边形ABCD的面积； 【答案】（1）10；（2）128． 【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB=AE，进而再利用题中数据即可求解结论； （2）易证△CED为直角三角形，则CE⊥AD，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=10； （2）∵四边形ABCD是平行四边形． ∴CD=AB=10， 在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8， ∴ED2+CE2=CD2， ∴∠CED=90°． ∴CE⊥AD， ∴平行四边形ABCD的面积=AD•CE=（10+6）×8=128． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用及角平分线的性质，勾股定理的逆定理等问题，解题的关键是熟练掌握有关性质． 【变式2】（2021秋·重庆·九年级重庆八中校考期末）如图，在平行四边形中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，． （1）求证：AE平分； （2）若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）证明得，再证明即可得到结论； （2）首先求出和的长，进而求出的面积，，即可得出结论． 【详解】解：（1）在中， ∴ 又∵且 ∴ ∴， 又且 ∴ ∴ ∴平分； （2）∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，判断出是解答此题的关键 【变式3】（2020·重庆·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F． （1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数； （2）求证：BE=DF． 【答案】（1）60°；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得∠BCD=2∠BCF=120°，利用平行四边形的性质即可解答； （2）根据平行四边形的性质及角平分线即可证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）∵CF平分∠DCB， ∴∠BCD=2∠BCF=120° ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=180°-∠BCD=180°