专题06 解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】冲刺2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题06 解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题 目录一览 一、梳理必备知识 二、基础知识过关 三、典型例题讲解 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 一、梳理必备知识 1.正弦定理 .（其中为外接圆的半径） （边化角） （角化边） 2.余弦定理： 3.三角形面积公式： = 4.三角形内角和定理： 在△ABC中，有. 【常用结论】 ①在中， ② ③在三角函数中，不成立。但在三角形中，成立 二、基础知识过关 一、单选题 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．在中，的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 3．在中，，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰三角形 4．中，是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，，，，，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．的三边分别为a,b,c,若是锐角三角形,则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）． 8．中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是____________. 三、典型例题讲解 【典例1】在中，，，的对边分别为，，，已知． （1）判断的形状； 【典例2】已知在锐角中，. (1)证明：； 【典例详解】 【典例1】 【分析】（1）由正弦定理和题设条件，得，再利用三角恒等变换的公式，化简得，进而求得或，即可得到答案． 【详解】（1）由正弦定理可知，代入， ， 又由, 所以， 所以， 所以，（注意不能左右消去cosC）则， 则或，所以或， 所以为直角三角形或等腰三角形．          【典例2】 【分析】（1）化简题干条件得到，从而根据是锐角三角形，得到，得到； （1）证明：由知： ，即， 所以（整体化成关于角的式子） 因为是锐角三角形，所以，在上单调递增， 所以，即. 解题技巧：①判断三角形的形状 (1)利用正、余弦定理把己知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断出三角形的形状。 (2)利用正、余弦定理把己知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数的恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状。 在以上两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解 ②证明三角形中的等式 要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理，使混合的边、角关系统为边的关系或角的关系，进而转化为三角恒等式的证明或转化为关于三边的代数恒等式的证明，并注意三角形中相关结论的运用。 四、解题技巧实战 【技巧实战1】 1.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)判断的形状； 【技巧实战2】 2．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)若，判断的形状并说明理由； 【技巧实战3】 3．在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）证明：； 【技巧实战4】 4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：. 五、跟踪训练达标 1． （2022·高三课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，判断的形状． 2．（2022春·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． (1)判断的形状； (2)若O为所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，，求OC的最大值． 3．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）（1）在中，角所对的边分别为，若，，判断的形状； （2）在中，，角的平分线，求的长. 4．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）在中，角A，B，C成等差数列，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)若，判断的形状； (2)若不是钝角三角形，求的取值范围． 5．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 (1)若，判断的形状并说明理由； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 6．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 7．（河北·模拟预测）在△ABC中，，求证：. 8．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且． (1)证