专题01 二次根式-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

专题01 二次根式 一、【知识回顾】 【思维导图】 1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式. 注意：（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.（重点）二次根式的性质：（1）,（2） ；注意使用. 4.二次根式的乘法法则：（1）；（2） 5.二次根式的除法法则：（1）；（2）； 6.分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 常见有理化因式： ，， ，它们也叫互为有理化因式 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．二次根式化简题的几种类型： （1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 7．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 8.二次根式的加减法则：只有同类二次根式才可以加减，又称作合并同类二次根式；系数进行合并，根式保持不变 9．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 二、【考点类型】 考点1：二次根式有意义的条件 典例1：（2023秋·湖南郴州·八年级统考期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由式子在实数范围内有意义，可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键． 【变式1】2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若在实数范围内有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【变式2】（2023·广东广州·校考一模）若有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意列出不等式是解题的关键 【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知、为实数，，则的值等于______． 【答案】16 【分析】根据被开方数大于等于0，得到，求出的值，进而求出的值，再求，即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握被开方数大于等于0，是解题的关键． 考点2：二次根式的性质 典例2：（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴图可知，，再根据化简式子即可． 【详解】解：根据数轴图可知，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，分式的基本性质，解题关键是根据数轴图判断绝对值里数值的正负． 【变式1】（2023春·天津宝坻·八年级校考阶段练习）如果，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的非负性求出x，进而得到y的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案． 【详解】解：∵的三边分别为a、b、c， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到是解题的关键． 【变式3】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）实数a，b在