8.3 正态分布（四大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

学利购 李科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 8.3正态分布 【题型归纳目录】 题型一：正态曲线的图象的应用 题型二：利用正态分布的对称性求概率 题型三：正态分布的实际应用 题型四：正态分布标准化 【知识点梳理】 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正 态曲线显然对于任意xeR,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的而积为1， 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线， 若随机变量X的概率密度函数为(x),则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(4,σ)，特别地， 当μ=0，。=1时，称随机变量X服从标准正态分布 2、由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x=4对称： (2)曲线在x=4处达到峰值 σ√2π (3)当x无限增大时，曲线无限接近x轴， 3、正态分布的期望与方差 若X~N4,o2),则E(X)=H,D(X)=G2. 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ-o≤X≤4+σ)≈0.6827： (2)P(u-2a≤X≤u+2o)≈0.9545： (3)P(4-3o≤X≤u+3o)≈0.9973. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N4,o2)的随机变量X只取[μ-3o,4+3o]中的值，这在统 计学中称为3σ原则. 【典型例趣】 题型一：正态曲线的图象的应用 【方法技巧与总结】 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x=4,二是最 1 头原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科四 学科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1 大值为 这两点确定以后，相应参数4，σ便确定了，代入f()中便可求出相应的解析式 √2元 例1.(2023全国·高二专题练习)设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数∫(x)的图像，且 f(x)=-1 e(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是(). √8π A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 【答案】B _-02 【解析】因为f(x)= 1-101 e8= e22,所以o=2,4=10, √8 √2π× 即正态总体的平均数与标准差分别为10与2 故选：B 例2.(2023全国高三专题练习)下列是关于正态曲线f=,。xER性质的说法： ①曲线关于直线x=μ对称，且恒位于x轴上方： ②曲线关于直线x=o对称，且仅当x∈【-3a,3o时才位于x轴上方： ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于y轴对称： ④曲线在x=“处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线遂渐降低： ⑤曲线的位置由4确定，曲线的形状由σ确定 其中说法正确的是() A.①④⑤ B.②④⑤ C.③④⑤ D.①⑤ 【答案】A 【解析】正态曲线∫(x关于直线x=μ对称，该曲线总是位于x轴上方，故①正确：②不正确： 只有当4=0时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于y轴对称：此时为标准正态分布，当4≠0时，不 是偶函数，故③不正确： 正态曲线∫(x是一条关于直线x=μ对称，在x=μ处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低 的曲线，故④正确： 曲线的位置由对称轴x=4确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，图象越矮胖，σ越小，图象越瘦高，故⑤ 正确： 故①④⑤说法正确 故选：A 例3.(2023全国·高二专题练习)下列函数是正态分布密度函数的是() 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网原|，让学习更容为！ K.coM学科网精品频道全力推存 A.fx)=b-e∘μ，ca>0)都是实数 B.6)=， C.fx)=_22e， D.fx-2c 【答案】B 【解析】对照正态分布密度函数：fx)-1。”（x∈R)， 指数中的σ和系数的分母中的σ要一致，以及指数部分是一个负数 故选：B、 变式1.(2023春全国高三竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件2X+Y=2，且Y服从标准正态 分布．设函数F{x)=P(X-2x|>1)，则F(x)的图像大致为（） 1……。1.。。。。 A。 B。 【答案】D′ I解新1F()-P|x-2|≯1)=P(X>x+1或X2-0，因为X=1号 所以F(x)=P1->2x+1或2x-)，即F(x)=P(′<-4x或Y>4-4x)， F(|-x)=P[Y<-4(1-x)或Y>4-4(1-x)]=P(Y<4+4x或Y>4x) 因为Y服从标准正态分布，所以根据对称性可知F(x)=F(1-x)，所以函数F(x)关于x=_对称，故排除AC x_2时()-x-≯)，x=所似r