单元复习12 复数【过知识】（课件）-2022-2023学年高一数学单元复习过过过（苏教版2019必修第二册）

苏教版2019选择性必修第一册 单元复习12 复数 1 2 知识点归纳 复数的概念 题型探究 14 15 16 17 18 19 复数的四则运算 20 21 22 23 24 25 复数的几何意义及其应用 26 27 28 29 30 课堂练习 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)． (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模：向量eq \o(OZ,\s\up17(―→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2) (r≥0，r∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \o(OZ,\s\up17(―→)). 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 4．复数的三角表示 (1)复数的三角形式 ①一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \o(OZ,\s\up17(―→))所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． ②规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π. ③复数的三角形式和代数形式可以相互转化． (2)复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)， ①乘法：z1z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． ②除法：eq \f(r1cos θ1＋isin θ1,r2cos θ2＋isin θ2)＝eq \f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 【应用问题与数学建模】 ——巧妙运用复数知识寻找宝藏 一个探险家无意中得到一张藏宝图，图上画着一座海岛，海岛上有两座宝塔A和B，以及一座寺庙，藏宝图用一种比较特别的方式指出了宝藏的位置． 从寺庙开始沿直线走向宝塔A，到达后记下距离并向左转90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处做一记号．再回到寺庙，同样沿直线走向宝塔B，到达后记下距离并向右转90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处再做一记号，两个记号连线的中点就是宝藏所在的位置． 探险家得到宝藏图之后，兴奋不已，不顾路途艰辛，跋山涉水终于找到了这座海岛，海岛上果真有两座宝塔，但是却找不到任何寺庙的影子，失望之余探险家就疯狂的挖起地来，他希望能够找到宝藏，但海岛面积较大，他挖了好多天也没有发现宝藏的踪迹，最后只好失望而归． 其实我们可以利用复数找到宝藏的位置，按照宝藏图可以绘制出如下平面图： 设点C是寺庙的位置，D，E是前后两次作记号的位置，T为DE的中点，即宝藏的位置，以宝塔A为原点，以两塔A，B所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设|AB|＝d，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝a＋