10.3 复数的三角形式及其运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习课时作业word（人教B版）

10.3　复数的三角形式及其运算 选题明细表 知识点、方法 题号 复数的三角形式 1,8 复数的辐角与辐角主值 2,5,6,10 复数三角形式的乘法和乘方 3,4,7 复数三角形式的除法 9,11 基础巩固 1.下列说法正确的是(　D　) A.复数的辐角是唯一的 B.z=cos θ-isin θ是复数的三角形式 C.z=-2(cos θ+isin θ)是复数的三角形式 D.复数z=cos π+isin π的模是1,辐角主值是π 解析:由于复数的辐角有无数个,因此A不正确;B,C都不是复数的三角形式,不正确.故选D. 2.若复数z=(a+i)2的辐角主值是,则实数a的值是(　B　) A.1 B.-1 C.- D.- 解析:因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=, 所以所以a=-1.故选B. 3.复数(sin 10°+icos 10°)3的三角形式为(　B　) A.sin 30°+icos 30° B.cos 240°+isin 240° C.cos 30°+isin 30° D.sin 240°+icos 240° 解析:(sin 10°+icos 10°)3=(cos 80°+isin 80°)3=cos 240°+ isin 240°.故选B. 4.设向量对应复数-2+4i,把绕原点O按顺时针方向旋转60°到,则向量对应的复数是(　B　) A.-3-i B.+5i C.-2-4i D.2-4i 解析:向量对应的复数是 (-2+4i)[cos(-60°)+isin(-60°)] =(-2+4i)(-i) =+5i. 故选B. 5.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于(　D　) A. B.- C.-1 D.1 解析:复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β, 所以tan α=,tan β=, 所以tan(α+β)==1.故选D. 6.设π<θ<,则复数的辐角主值为　　　　.  解析:==cos 3θ+isin 3θ. 因为π<θ<,所以3π<3θ<, 所以π<3θ-2π<. 答案:3θ-2π 能力提升 7.(多选题)设f(θ)=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则f2(θ)= cos 2θ+isin 2θ,f3(θ)=cos 3θ+isin 3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于(　AC　) A. B. C. D. 解析:f10(θ)=cos 10θ+isin 10θ,要使f10(θ)为实数,则sin 10θ= 0,即10θ=kπ(k∈Z),故θ=(k∈Z).当k=1时,θ=,当k=2时,θ= .故选AC. 8.复数z=sin-icos,若zn=(n∈N*),则n的最小值是(　C　) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:因为z=sin-icos=cos-isin =cos(-)+isin(-), =cos+isin, 所以=cos+isin=zn=cos(-)+isin(-), 由此得=2kπ-,n∈N*,k∈N*, 所以n=6k-1,k∈N*,故n的最小值为5.故选C. 9.计算i3÷[(cos 120°+isin 120°)]=　　　　.  解析:i3÷[(cos 120°+isin 120°)] =-i÷[(cos 120°+isin 120°)] =(cos 270°+isin 270°)÷[(cos 120°+isin 120°)] =[cos(270°-120°)+isin(270°-120°)] =2(cos 150°+isin 150°) =2(-+i) =-+i. 答案:-+i 10.在复平面内,若动点P对应的复数为z,且满足|z-4i|=2,则z的辐角主值的范围为　 ,当|z|取得最大值时, z=　　　　　.  解析:结合图形,把代数问题几何化、图形化,如图, ≤arg z≤,当|z|取最大值时,z=6i. 答案:[,]　6i 应用创新 11.在复平面上点A,B表示的复数分别为α,β(α≠0),且β=(1+i)α,判断△AOB的形状(其中O为原点),并证明S△AOB=|α|2. 解:△AOB为等腰直角三角形. 证明:因为α≠0,β=(1+i)α, 所以=1+i=(cos+isin), 所以∠AOB=, 因为,分别表示复数α,β-α, 由β-α=αi,得=i=cos +isin , 所以∠OAB=90°, 所以△AOB为等腰直角三角形. 所以S△AOB=||·||=|α|2. 学科网（北京）股份有限公司 $