9.2—9.3-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习课时作业word（人教B版）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 9.3　数学探究活动:得到不可达两点之间的距离 选题明细表 知识点、方法 题号 测量高度问题 3 测量距离问题 2,5,6,7,10 测量角度问题 1,4,8,9,11,12 基础巩固 1.(多选题)下列说法正确的是(　AD　) A.东北方向就是北偏东45°的方向 B.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的 关系为α+β=180° C.俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0°,90°] D.方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系 2.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6 km处. 该船由A处向正北方向航行8 km到达C处,这时灯塔B与船相距(　A　) A.2 km B.2 km C.6 km D.8 km 解析:由题意,画示意图如图. 已知AB=6,AC=8,∠A=60°, 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A=64+36-2×8×6×=52, 所以BC==2. 所以灯塔B与船之间的距离为2 km.故选A. 3.某广场上矗立着一建筑地标.为了测量地标的高度,某同学在地标的正西方向的点A处测得地标顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°方向前进100 m到达点B处,在点B处测得地标顶端的仰角为30°,则地标的高度为(　A　) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 解析:如图,CD为地标高度,设高为h m,由题意,CD⊥AD,CD⊥BD, AB=100 m,∠BAD=60°,∠CAD=45°,∠CBD=30°, 在△CBD中,BD=h,在△CAD中,AD=h, 在△ABD中,BD=h,AD=h,AB=100,∠BAD=60°, 由余弦定理可得3h2=10 000+h2-2×100hcos 60°, 所以(h-50)(h+100)=0, 解得h=50或h=-100(舍去).故选A. 4.如图,在离地面h m的热气球M上,观察到山顶C处的仰角为θ, 在山脚A处观察到山顶C处的仰角为60°,若A到热气球的距离AM=400 m,山的高度BC=600 m,∠ACM=45°,则θ=(　D　) A.30° B.25° C.20° D.15° 解析:在Rt△ABC中,BC=600 m,∠CAB=60°, 所以AC==400 m.在△MAC中,由正弦定理知=, 解得sin ∠AMC=,所以∠AMC=60°或120°. 当∠AMC=60°时,则∠MAC=75°,∠MAD=45°, 所以θ=60°-45°=15°, 当∠AMC=120°时,∠MAC=15°,∠MAB=75°, θ=120°-(180°-75°)=15°. 所以θ=15°.故选D. 5.如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为　　 m. 解析:在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°, 所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120(m). 如图作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度. 由正弦定理得=, 所以=,所以CD=60,所以河的宽度为60 m. 答案:60 6.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始　　　 　h后,两车的距离最短.  解析:如图所示,设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t. 因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.由余弦定理得 DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t =12 900t2-42 000t+40 000. 当t=时,DE最小. 答案: 能力提升 7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的时间为(　B　) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 解析:设台风中心移动t h,城市B处在危险区,则(20t)2+402-2× 20 t×40×cos 45°≤900,解得-≤t≤+, 所以B城市处在危险区的时间为1 h.故选B. 8.如图,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD, 为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得 ∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=4