20.隐形圆——定弦定角模型-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

20.隐形圆——定弦定角模型

1．（2021秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．

【答案】2

【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小．

【详解】解：如图，连接CE．

∵AP∥BC，

∴∠PAC=∠ACB=60°，

∴∠CEP=∠CAP=60°，

∴∠BEC=120°，

,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧

如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作

∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120°

∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，

∵∠BCM=30°，BC=，

∴MB=MC=8，

∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．

∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，

∴∠ACM=90°，

∴MA==，

∴AE的最小值为=．

故答案为：2

【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．

2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．

【答案】

【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．

【详解】如图，设AD的中点为点E，则

由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上

由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，

连接BD

AB为半圆O的直径

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键．

3．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）【学习心得】

小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则．

(1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数；

(2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；

(3)【问题拓展】

①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点