16.婆罗摩笈多模型-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

16.婆罗摩笈多模型

1．（2022秋·八年级课时练习）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．

 

【答案】①②③④

【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．

【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，

即∠CAE＝∠BAG，

∴△ABG≌△AEC（SAS），

∴BG＝CE，故①正确；

设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，

∵△ABG≌△AEC，

∴∠ACE＝∠AGB，

∵∠AKG＝∠NKC，

∴∠CNG＝∠CAG＝90°，

∴BG⊥CE，故②正确；

过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，

∵AH⊥BC，

∴∠ABH+∠BAH＝90°，

∵∠BAE＝90°，

∴∠EAP+∠BAH＝90°，

∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；

∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，

∴△ABH≌△EAP（AAS），

∴EP＝AH，

同理可得GQ＝AH，

∴EP＝GQ，

∵在△EPM和△GQM中，

，

∴△EPM≌△GQM（AAS），

∴EM＝GM，

∴AM是△AEG的中线，故③正确．

综上所述，①②③④结论都正确．

故答案为：①②③④．

【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．

2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．

　

（1）如图1，若，，易证：；

（2）如图2，；如图3，，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）时，（1）中结论成立，证明见解析；时，（1）中结论成立，证明见解析．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠MAC=45°，证得∠EAN=∠NAG，由等腰三角形的性质得出结论；

（2）如图1，2，证明方法相同，利用“AAS”证明△ABM和△EAP全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AM，同理可证GQ=AM，从而得到EP=GQ，再利用“AAS”证明△EPN和△GQN全等，根据全等三角形对应边相等可得EN=NG．

【详解】（1）证明：∵，，∴，

∵，

∴，

∴，