15.锐角三角函数压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

15.锐角三角函数压轴题 一、单选题 1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿翻折至，延长交边于点，连接，．则下列给出的判断：①；②若，则；③若为的中点，则的面积为；④若，则，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①根据定理先证，得出即可； ②设，根据勾股定理求出，再求出的值即可； ③同样利用特殊值法计算得不出相应的关系即可证明结论不正确； ④根据已知关系先求证是等腰直角三角形，设，根据，则有，解出即可． 【详解】①将沿翻折至， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， 故①正确； ②设， 在中， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 故②正确； ③同理可得， ， 为的中点， ， ， 过作的高线， ， ， ， 即， 解得， ， 故③错误； ④， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则有， 解得， 故④正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练利用特殊值法解选择题是解本题的关键． 2．（2022·广东东莞·校联考一模）如图，在四边形中，AD//BC，．动点P沿路径从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解． 【详解】解：①当点P在AB上运动时， ∵AB=BC=5，tanA=， ∴AP：PH：AH=5：4：3， ∵AP=x， ∴PH=x，AH=x， ，图象为二次函数； 且当x=5时，y=6；故B，C，D不正确；则A正确； ②当点P在BC上运动时，如下图，过点B作BE⊥AD于点E， ∵tanA=，AB=5， ∴BE=4，AE=3， ∵AB+BP=x， ∴BP=EH=x-5， ∴AH=2+x-5=x-2， ∴，为一次函数； 且当x=10时，y=16； ③当点P在CD上运动时， 此时，AD=AH=3+5=8， ∵AB+BC+CP=x， ∴PH=AB+BC+CD-x=14-x， ∴； 故选：A． 【点睛】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 3．（2022春·云南曲靖·九年级校考阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2＋t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为cm；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】①根据图2可知：走完用了4秒，得，利用勾股定理得的长；②当在上时，，利用同角的三角函数表示高的长，利用三角形面积公式可得与的关系式；③当与重合时，最大，如图4，此时，求出的长；④当在上时，与，列比例式可得的值． 【详解】解：①由图2可知：时，， ， ，， ，故①正确； ②当在上时，如图3，过作于， 此时：， ∴， 由题意得：，， ， ， ， ， ，故②正确； ③当与重合时，最大，如图4，此时， ， 过作于， ， ， ， 同理：， ， ； 线段的长度的最大值为，故③不正确； ④若与相似，点只有在线段上， 分两种情况：，， 当，如图5，则， ， 解得不合题意． 当时，如图6， ， ， ； 若与相似，则秒，故④正确； 其中正确的有：①②④， 故选：A． 【点睛】本题是动点问题的图象问题，此类问题比较复杂，考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角函数，解题的关键是学会读懂函数图象信息，并构建直角三角形，利用三角形相似或三角函数列方程解决问题． 4．（2013·广西百色·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（    ） A．24 B．48 C．96 D．192 【答案】C 【详解】∵点A(−，0),点B(0,1)， ∴