14.相似压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

14.相似压轴题 一、单选题 1．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（    ） ①当时，是等边三角形． ②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个． ③当时，． ④当时，． ⑤当时，． A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论． 【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图， ①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s， ∴AH=AB=6cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6cm． ∵当t=6s时，S=cm2， ∴×AB×BC=． ∴BC=． ∵当6≤t≤9时，S=且保持不变， ∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒， ∴HC=3cm，即点H为CD的中点． ∴BH=． ∴AB=AH=BH=6， ∴△ABM为等边三角形． ∴∠HAB=60°． ∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s， ∴AM=AN， ∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形． 故①正确； ②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形： 此时有两个符合条件的点； 当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图： 当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图： 综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个． ∴②不正确； ③过点M作ME⊥AB于点E，如图， 由题意：AM=AN=t， 由①知：∠HAB=60°． 在Rt△AME中， ∵sin∠MAE=， ∴ME=AM•sin60°=t， ∴S=AN×ME=． ∴③正确； ④当t=9+时，CM=，如图， 由①知：BC=， ∴MB=BC-CM=． ∵AB=6， ∴tan∠MAB=， ∴∠MAB=30°． ∵∠HAB=60°， ∴∠DAH=90°-60°=30°． ∴∠DAH=∠BAM． ∵∠D=∠B=90°， ∴△ADH∽△ABM． ∴④正确； ⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图， 此时MB=9+-t， ∴S=． ∴⑤不正确； 综上，结论正确的有：①③④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键． 2．（2022·安徽合肥·统考二模）已知△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△DEC交BC于点F，连接BE，点M是BC的中点，连接EM，则下列结论错误的是（    ） A．△ADC≌△BEC B．若CD平分∠ACB，则BD=BE C．若AB=2，则ME长度的最小值是 D．若BD：AD=1：2，则BF：FC=1：4 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，等边三角形的性质以及旋转模型即可证明A选项，根据全等的性质以及三线合一的性质即可判断B选项，根据A选项可得点在上运动，根据含30度角的直角三角形的性质，以及垂线段最短即可求解，根据题意证明，根据相似三角形的性质，以及已知条件，即可判断D选项 【详解】如图， 是等边三角形 故①正确； ， CD平分∠ACB， BD=BE 故②正确； 当时，最小， 为的中点， ， 的最小值为 故C选项正确， 如图， 设，则， 故D选项错误 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与欧判定，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2013·江苏南通·统考一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），即