13.瓜豆原理-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

13.瓜豆原理

1．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（       ）

A． B．4 C． D．6

【答案】A

【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值．

【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接，

∵，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴，

∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求

出点D到线段的最大距离，

∵是边长为4的等边三角形，

∴点M到的距离为，

∴点D到的最大距离为，

∴的面积最大值是，

故选A．

【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．

2．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．

【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

设Q(，)，则PM=，QM=，

∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，

∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，

∴∠QPM=∠PQ′N，

在△PQM和△Q′PN中，

，

∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，

∴PN=QM=，Q′N=PM=，

∴ON=1+PN=，

∴Q′(，)，

∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，

当m=2时，OQ′2有最小值为5，

∴OQ′的最小值为，

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．

3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　

A． B．3 C． D．

【答案】D

【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出CE的长度，用即可求出结论．

【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，