12.圆压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

12.圆压轴题 一、单选题 1．（2023秋·安徽淮南·九年级校联考期末）如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】连接OM、ON，NK，根据切线的性质及角平分线的判定定理，可得出答案. 【详解】如图，连接OM、ON，NK， ∵PM、PN分别是⊙O的切线， ∴ON⊥PN，OM⊥PM，MN⊥OP，∠OPN=∠OPM， ∴∠1+∠ONK=90°，∠2+∠OKN=90°， ∵OM=ON，  ∴∠OPN=∠OPM，∠ONK=∠OKN， ∴∠1=∠2， ∴点K是△PMN的角平分线的交点， 故选C. 【点睛】本题考查了切线长定理、角平分线定义，熟练掌握切线长定理的内容是解题的关键. 2．（2022·山东济南·模拟预测）已知抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊙D相切.正确的结论是(    ) A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①根据抛物线的解析式即可判定； ②求得AD、CD的长进行比较即可判定， ③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE＝AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； ④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定； 【详解】由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确； ∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)， ∴4＝9a+，解得：a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+， 令y＝0，则﹣(x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2， ∴A(﹣2，0)，B(8，0)； ∴AB＝10， ∴AD＝5， ∴OD＝3 ∵C(0，4)， ∴CD＝, ∴CD＝AD， ∴点C在圆上，故②错误； 过点C作CE∥AB，交抛物线于E， ∵C(0，4)， 代入y＝﹣(x﹣3)2+得：4＝﹣(x﹣3)2+， 解得：x＝0，或x＝6， ∴CE＝6， ∴AD≠CE， ∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误； 由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：M(3，)， ∵C(0，4)， ∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝x+4， ∴CM⊥CD， ∵CD＝AD＝5， ∴直线CM与⊙D相切，故④正确； 故选：B. 【点睛】此题是抛物线与圆的综合题，考察抛物线的性质，（2）用勾股定理判断CD与圆的半径的大小关系；（3）抛物线中平行四边形的构成，先作平行线求得线段CE的长度，再与线段AD比较即可知是否为平行四边形；（4）中的相切关系需证得直线的垂直关系，即直线解析式中k值互为负倒数时直线垂直，由此证得CM与圆相切. 3．（2022春·九年级课时练习）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 【答案】D 【分析】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2＝256，因为a2+b2＝122＝144，推出2ab=112，推出ab=28，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点． 设AB＝a，BC＝b，则有2＝， ∴a+b＝16， ∴a2+2ab+b2＝256， ∵a2+b2＝122＝144， ∴2ab＝112， ∴ab＝28． ∴△ABC的面积为28． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识，解题的关键是记住直角三角形的内切圆半径r=，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．（2022·山东济南·统考一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值． 【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM， 则， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，