11.四点共圆压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

11.四点共圆压轴题 1．（2022秋·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由旋转性质证明即可判断； ②由①的结论可得，，进而得到，即可判断； ③证明为等腰三角形即可判断； ④由题意直线BD、CE相交于点，当 时，的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断 【详解】①由旋转的性质可知：， 即 故①正确 ②设相交于点,如图： 由①，可得， 又 故②正确 ③ ， 可知四点共圆， 则 即 故③正确 ④设到的距离为， ，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大， 由③可知是等腰三角， ,当点到的距离最大时即当时，最大 即当旋转角度时，过作于点，如图， 由②可知 由③可知, 由①可知 在中，， 在中，, 在中， 故④不正确 综上所述：①②③正确，共计3个 故选C 【点睛】本题考查了图形的旋转，三角形相似的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，勾股定理，正确的作辅助线和熟练的几何基础知识是解题的关键． 2．（2021·广东深圳·统考二模）如图，正方形中，、相交于点，是边上的一点，且，连接、、，线段、分别交对角线、于点、．过点作．交的延长线于．下列结论中：①；②；③；④其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①正方形对角线垂直平分三角形外角等于和它不相邻的两个内角和，可得结果； ②连接AQ，可得∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，即A、Q、B、E四点共圆，可得∠QAE=90°-∠AQE=45°，即可得AE=EQ； ③过P作AC的垂线于点G，设BP=a，由勾股定理得AP=a，AC=3a，正方形对角线垂直相等且互相平分，知，即可求解； ④AD∥BC，可得△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，根据相似的性质可得，设S△BEP=s，则S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s，S△OPE=s，可得S四边形OEPF=s，S正方形ABCD=24s． 【详解】解：①∵∠POB=∠PDO+∠OPD， ∠POC=∠PAO+∠APO， ∠POB+∠POC=∠BOC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BOC=90°， ∴∠PDO+∠OPD+∠PAO+∠APO=90°， ∴∠PAO+∠APO+∠PDO=90°， ∴①正确； ②连接AQ， ∵QE⊥AP， ∴∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°， ∴A、Q、B、E四点共圆， ∴∠AQE=∠ABE=∠ABC=45°， ∴∠QAE=45°， ∴AE=EQ， ∴②正确； ③过P作AC的垂线于点G， 设BP=a，PC=2a， ∴BC=3a， ∴AP=a， ∴AC==3a， ∴AO=BO=， ∵BD⊥AC，PE⊥AC， ∴BD∥PG， ∴， ∴PG=×=， ∴sin∠PAC， ∴③错误； ④∵AD∥BC， ∴△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA， ∴BE：DE=1：3，CF：AF=2：3， ∴BE：EO=1：1，OF：CF=1：4， 设S△BEP=s，则S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s， ∴S△OPF=s， ∴S△BCO=2s+4s=6s， ∴S四边形OEPF=s+s=s，则10 S四边形OEPF=s， S正方形ABCD=4s×6=24s， ∴④错误， 综上①②正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质的应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等，解本题关键掌握正方形的性质，相似三角形判定与性质等． 3．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O为AC的中点，K为BC上一点，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分别交BN、OB于M、F，AC交BN于E，连接OM，下列结论：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，则．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据K型全等和八字形倒角可证①正确；根据△ABC是等腰直角三角形，O为AC的中点，可得BO三线合一，可证△OBE≌△OAF(ASA)，得出②正确；根据∠AMB=90°∠AMB+∠AME=180°，可得∠AME+∠BOE=180°，可证E、M、F、O四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等，可得③正确；取AF的中点G连接OG，易得OG是直角三角形AOF的中线，根据∠BAC=45°