9.内外心综合-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

9.内外心综合

1．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）已知等边三角形ABC．如图，

（1）分别以点A，B为圆心，大于的AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

（2）作直线MN交AB于点D；

（2）分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；

（3）作直线HL交AC于点E；

（4）直线MN与直线HL相交于点O；

（5）连接OA，OB，OC．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB＝2OE；②AB＝2OA；③OA＝OB＝OC；④∠DOE＝120°，正确的是（　　）

A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．③④

【答案】B

【分析】根据等边三角形的性质，三角形的外心，三角形的内心的性质一一判断即可．

【详解】解：由作图可知，点O是△ABC的外心，

∵△ABC是等边三角形，

∴点O是△ABC的外心也是内心，

∴OB＝2OE，OA＝OB＝OC，

∵∠BAC＝60°，∠ADO＝∠AEO＝90°，

∴∠DOE＝180°﹣60°＝120°，

故①③④正确，

故选：B．

【点睛】本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质等知

识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

2．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（　　）

A．6π B．3π C．π D．2π

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6，可得BC＝2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD，则AD⊥BC，可得BD＝DC＝BC＝1，再根据勾股定理可得OB2﹣OD2＝BD2＝1，再根据S圆环＝S外接圆﹣S内切圆即可得结论．

【详解】解：如图，

∵等边三角形ABC的周长为6，

∴BC＝2，

设点D为BC边与内切圆的切点，

连接AD，则AD⊥BC，

∴BD＝DC＝BC＝1，

在Rt△BOD中，根据勾股定理，得

OB2﹣OD2＝BD2＝1，

∴S圆环＝S外接圆﹣S内切圆

＝OB2π﹣OD2π

＝BD2π

＝π．

故选：C．

【点睛】本题考查三角形的外接圆与内切圆，掌握正三角形的外接圆与内切圆半径求算是解题关键．

3．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，扇形AOD中，，，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），于Q，点I为的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=．

【详解】解：如图，连OI，PI，DI，

∵△OPH的内心为I，

∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OD，即∠PHO=90°，

∴∠PIO=180°-（∠HOP+∠OPH）=180°-（180°-90°）=135°，

在△OPI和△ODI中，

，

∴△OPI≌△ODI（SAS），

∴∠DIO=∠PIO=135°，

所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；

过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，

在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，

∵∠DIO=135°，

∴∠DP′O=180°-135°=45°，

∴∠DO′O=90°，而OD=6，