9.内外心综合-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

9.内外心综合 1．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）已知等边三角形ABC．如图， （1）分别以点A，B为圆心，大于的AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； （2）作直线MN交AB于点D； （2）分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点； （3）作直线HL交AC于点E； （4）直线MN与直线HL相交于点O； （5）连接OA，OB，OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB＝2OE；②AB＝2OA；③OA＝OB＝OC；④∠DOE＝120°，正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，三角形的外心，三角形的内心的性质一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，点O是△ABC的外心， ∵△ABC是等边三角形， ∴点O是△ABC的外心也是内心， ∴OB＝2OE，OA＝OB＝OC， ∵∠BAC＝60°，∠ADO＝∠AEO＝90°， ∴∠DOE＝180°﹣60°＝120°， 故①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（　　） A．6π B．3π C．π D．2π 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6，可得BC＝2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD，则AD⊥BC，可得BD＝DC＝BC＝1，再根据勾股定理可得OB2﹣OD2＝BD2＝1，再根据S圆环＝S外接圆﹣S内切圆即可得结论． 【详解】解：如图， ∵等边三角形ABC的周长为6， ∴BC＝2， 设点D为BC边与内切圆的切点， 连接AD，则AD⊥BC， ∴BD＝DC＝BC＝1， 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得 OB2﹣OD2＝BD2＝1， ∴S圆环＝S外接圆﹣S内切圆 ＝OB2π﹣OD2π ＝BD2π ＝π． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与内切圆，掌握正三角形的外接圆与内切圆半径求算是解题关键． 3．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，扇形AOD中，，，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），于Q，点I为的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=． 【详解】解：如图，连OI，PI，DI， ∵△OPH的内心为I， ∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH， ∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）， 而PH⊥OD，即∠PHO=90°， ∴∠PIO=180°-（∠HOP+∠OPH）=180°-（180°-90°）=135°， 在△OPI和△ODI中， ， ∴△OPI≌△ODI（SAS）， ∴∠DIO=∠PIO=135°， 所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上； 过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O， 在优弧DO取点P′，连P′D，P′O， ∵∠DIO=135°， ∴∠DP′O=180°-135°=45°， ∴∠DO′O=90°，而OD=6， ∴OO′=DO′=， ∴r的值为， 故选D． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 4．（2020春·浙江杭州·九年级统考阶段练习）如图，已知的内接中，，于，，直径交边于点，有下列四个结论：①；②；③当时，的面积取得最大值；④三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比．其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题需根据三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质去解答. 【详解】由相交弦定理得①是正确的； 由条件并不能得出与相似，故②是错误的； 由条件可证与相似，从而可得，进而可得的半径， 设，的半径为，则有， 故当时，的最大面积为，故③是正确的； 由这一结论一般化，得④是正确的， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函