8.三角形内切圆-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

8.三角形内切圆 1．（2022春·九年级课时练习）若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比． 【详解】解：如图，由题意得： ， 由切线长定理可得： 设 ， ， 而 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2022春·湖北武汉·九年级专题练习）如图，在中，其周长为20，⊙I是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为（ ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作CD⊥AB于D，由结合面积求出BC的长，由内心可以求出，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，求出圆心角，最后由垂径定理求出半径OB 【详解】过C作CD⊥AB于D，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设， ∵， ∴， ∵在周长为20，内切圆半径为， ∴， ∴ ∴ 中， ∴ ∵在周长为20， ∴ ∴ 解得 ∵是的内心 ∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB ∴ ∵ ∴ ∴ ∵° ∴ ∴ ∵OE⊥BC ∴, ∴ 故选D 【点睛】本题综合考察三角形的内心和外心，熟记内心和外心的性质是解题的关键 3．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（  ） A．65° B．60° C．58° D．50° 【答案】B 【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OE，OF． ∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点， ∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠OEB=∠OFB=90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°， ∴∠EPF=∠EOF=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2021·湖北武汉·统考模拟预测）如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值. 【详解】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC= ∵矩形的周长为， ∴x+y=8① ∵和分别为和的内切圆， ∴② 由矩形的对称性知， ∵， ∴， ∴， 即③ 由①、②、③联立方程组，解得： r=1，xy=14，， 作EH⊥FH于H，由勾股定理得： =36-32+8 =12， ∴EF=， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键. 5．（2020·江苏无锡·统考模拟预测）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（    ） A．5 B． C．5或 D．6 【答案】B 【分析】分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可. 【详解】解：若△APQ∽△ABC， ∴∠APQ=∠ABC， ∴PQ∥BC，， ∴∠PDB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠PBD=∠CBD， ∴∠PBD =∠PDB， ∴PB=PD，同理，DQ=CQ， ∵，，， ∴BC=， 设AP=x，根据得, ∴AQ=， ∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-， ∴PQ=PD+QD=， ∴，即， 解得：x=， ∴PQ=； 若△APQ∽△ACB， 则， 由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N， 可知四边形AMDN为正方形， ∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°， ∴AM∥DN，AN∥DM， ∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD， ∴△MPD∽△NDQ， ∴， ∵AB=8，AC=6，BC=10， ∴DM=DN==2， ∴AM=AN=2， 设PM=x，则， ∴NQ=， ∵，即， 解得：x=或-2（舍）， ∴AP=+2=， ∴PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=. 综上：PQ的值为. 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.