7.三角形压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

7.三角形压轴题 一、解答题 1．（2021秋·北京通州·九年级潞河中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图． （1）当⊙O的半径为2时， ①在点M，N（0，1），T中，⊙O的“完美点”是　 　； ②若⊙O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标； （2）⊙C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1）①N，T；②PO的长为1，点P的坐标为或；（2） 【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论； ②先根据圆的“完美点”的定义列出方程求解，再将P点分为在第一象限和第三象限两种情况即得． （2）先确定圆的“完美点”的轨迹，再确定取极值时⊙C与y轴的位置关系即得． 【详解】解：（1）①∵点M ∴设⊙O与x轴的交点为A，B ∵⊙O的半径为2 ∴取A（﹣2，0），B（2，0） ∴ ∴点M不是⊙O的“完美点”，同理可得：点N，T是⊙O的“完美点”． 故答案为：N，T； ②如图1： 根据题意， ∴ ∴OP=1 若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q ∵点P在直线上 ∴设 ∴， ∵OP=1， ∴OQ=，PQ= ∴ 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为或． （2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有 ∴ ∴CP=1 ∴对于任意的点P，满足CP=1，都有，即 故对于任意的点P，满足CP=1时点P为⊙C的“完美点”． 因此，⊙C的“完美点”构成以点C为圆心，1为半径的圆． 设直线与y轴交于点D，如图2： 当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小． 设切点为E，连接CE ∴ ∵⊙C的圆心在直线上 ∴此直线和y轴，x轴的交点分别是D（0，1），F ∴OF=，OD=1 ∵ ∴CE∥OF ∴ ∴ ∴ ∴DE= ∴OE= ∴t的最小值为． 当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大． 同理可得：t的最大值为 综上所述，t的取值范围为 【点睛】本题考查了勾股定理、圆与直线的位置关系、切线的性质、相似三角形的判定及性质，解题关键是理解圆的完美点的定义，并用极值的方法确定取值范围． 2．（2021·全国·九年级专题练习）阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF； （2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长． 【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴ 【详解】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°． (2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长． (1)∠B+∠D=180°（或互补）． (2)∵ AB=AC， ∴ 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合． 则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG． ∵在△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°． ∴ EC2+CG2=EG2． 在△AEG与△AED中, ∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD． 又∵AD=AG，AE=AE， ∴△AEG≌△AED ． ∴DE=EG． 又∵CG=BD, ∴ BD2+EC2=DE2． ∴． 考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理． 3．（2021·山西·校联考二模）综合与探究 抛物线与轴交