6.二次函数压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

6.二次函数压轴题 一、解答题 1．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线． (1)如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线； (2)如图2，直线分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝(k＜0)上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式； (3)如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为(3，1)，AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连接BD，△BCD的面积为．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于E，F两点，记|m|＝AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值． 【答案】（1）见解析；（2）y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；（3）a＝﹣或﹣． 【分析】（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α，则∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，即可求解； （2）分∠APO为直角、∠OAP为直角两种情况，分别求解即可； （3）CH＝BC，则BH＝BC，△BCD的面积＝CD•BH＝CD×HB＝，故CD•BC＝4，而△BAC∽△ACD，故CD2＝BC•CD＝4，故CD＝2，则点A（1，1），则抛物线的表达式为：y＝ax2+（4a+3）x+3a+1，AC＝1，则m＝±3，故直线的表达式为：y＝±3x，直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，则直线y＝3x与抛物线有一个交点，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α， 在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD， ∴△ABC∽△ACD， ∴AC是四边形ABCD的相似对角线； （2）①当∠APO为直角时， 当∠OAP＝30°时， 过点P作PH⊥x轴于点H， 设OH＝x，则HP＝x，HA＝3x，则x+3x＝4， 解得：x＝1，故点P（1，﹣），故k＝﹣； 当∠AOP＝30°时， 同理可得：k＝﹣3； ②当∠OAP为直角时， 当∠OPA＝30°时， 点P（4，﹣4），k＝﹣16； 当∠AOP＝30°时，OA＝AO，∠OAP＝∠AOB＝90°，∠AOP＝∠OAB＝30° ∴△OAP≌△AOB，不符合相似对角线的定义，故舍去； 综上，反比例函数的表达式为：y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣； （3）如图3，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°， 故CH＝BC，则BH＝BC， △BCD的面积＝CD•BH＝CD× BC＝，故CD•BC＝4 而△BAC∽△ACD，故CA2＝BC•CD＝4，故CA＝2， 则点A（1，1），而点C（3，1）， 将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得： 抛物线的表达式为：y＝ax2﹣4ax+3a+1， AC＝2，则m＝±3， 故直线的表达式为：y＝±3x， 直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点， 则直线y＝3x与抛物线有一个交点， 联立直线y＝3x于抛物线的表达式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0， △＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0， 解得：a＝﹣或﹣． 【点睛】本题考查的是新定义的问题，新定义与反比例函数、新定义与二次函数的综合大题，本题难度较大，综合性较强，涉及到的知识点较多，解题的关键是掌握相似三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数解析式、二次函数与一次函数交点的个数与一元二次方程根的判别式的关系以及分类讨论的数学思想。 2．（2022·天津红桥·统考三模）抛物线经过，B（4，0）两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)直线经过点A，点P为该直线上的一个动点，且位于x轴的上方．点Q为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边作矩形PQMN，求该矩形周长的最小值； (3)设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，在抛物线上是否存在点F，使得？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该矩形周长的最小值为； (3)存在；F的坐标为或 【分析】(1)把A，B的坐标分别代入解析式，转化二元一次方程组，解方程组即可． (2)用待定系数法确定直线y=kx+3的解析式，设，则，根据函数对称性，确定PQ，QM的长度，计算2（PQ+QM），构造以t为自变量的二次函数，根据最值确定法判断计