5.反比例函数压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

5.反比例函数压轴题 一、单选题 1．（2022·广东广州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限经过的顶点A，且点B在轴上，过点B作轴的垂线交反比例函数图像于点C，连结OC交AB于点D，已知，，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】过A向OB作垂线，垂足为F，交OC于E，根据AF∥BC，得出，设，则AF=tBC，得，又，可推导出，求出t的值，得出AF=2BC，OB=2OF进一步导出OA=3OF，在Rt△AOF中，AF=,，在Rt△OBC中，即可求出OF的长，求出k的值． 【详解】解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点， ∴AF∥BC， ∴△AED∽△BCD， ∴， ∴， 设，则AF=tBC， ∴ 又OF×AF=OB×BC， ∴， 又EF∥BC， ∴△OEF∽△OCB ∴， ∴， 解得t=2， ∴AF=2BC，OB=2OF 又∵， ∴， ∴OA=3OF， 在Rt△AOF中，勾股定理可得AF=， ∴， 在Rt△OBC中，， ∴， 解得OF= 或﹣（舍去） ∴AF==4， ∴k=OF×AF=， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形结合的综合性题目，主要涉及到反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，线段之间比例关系的转化，解题关键在于做出辅助线，设出线段比例关系，通过不断转化得出线段等量关系，最后求出k值． 2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上一点，是轴正半轴上一点，以为邻边作．若点及中点都在反比例函数图象上，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题先假设点B、C坐标，继而利用性质以及中点坐标公式求解点A坐标，将所求点A代入对应反比例函数得到k的表达式，最后利用中点坐标公式求解点D坐标以解答k的表达式中未知项，以解此题． 【详解】因为点C在上，故假设，， ∴OB的中点坐标为， ∵，∴AC中点与OB中点相同， 故根据中点坐标公式可得：， 将点A代入可得：． 根据中点坐标公式可得：， 将点D代入可得：， 故． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与平行四边形的综合问题，主要考查了待定系数法以及中点坐标公式的运用，难度较高，当题目已知信息点较少时，必须通过假设未知数的方式表达未知线段，通过列方程求解． 3．（2020·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A． B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F， ∵点D（-2，3），AD=5， ∴DH=3， ∴， ∴A（2，0），即AO=2， ∵D（-2，3），A（2，0）， ∴AD所在直线方程为：， ∴E（0，1.5），即EO=1.5， ∴, ∴ED=AD- AE=5-=， ∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED， ∴△AOE ∽△CDE， ∴, ∴, ∴在矩形ABCD中，， ∵∠EAO+∠BAF=90°， 又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF， 又∵∠AOE=∠BFA， ∴△BFA∽△AOE， ∴, ∴代入数值，可得AF=2，BF=， ∴OF=AF+AO=4， ∴B（4，）， ∴将B（4，）代入反比例函数，得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 4．（2021·四川乐山·统考中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（    ） A． B．3或 C．或 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，得，，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，得，；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根