4.一次函数压轴题-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

4.一次函数压轴题 一、解答题 1．（2020·山东菏泽·统考模拟预测）已知，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数y＝﹣ax（a＞0）． （1）试说明点C在一次函数的图象上； （2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且﹣1≤n≤1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0＜a≤2时，求线段EF的最大值． 【答案】(1)见解析；（2）存在．整数k的值为±4．（3）EF的最大值是4． 【分析】（1）先求出二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a顶点C（1，﹣a），当x＝1时，一次函数值y＝﹣a所以点C在一次函数y＝﹣ax的图象上； （2）存在．将点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）代入二次函数解析式，用a、k表示出y1、y2，因为满足,把y1、y2代入整理可得关于k的方程，解方程检验即可求得k的值. （3）分两种情况讨论：①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝ 【详解】（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a， ∴顶点C（1，﹣a）， ∵当x＝1时，一次函数值y＝﹣a ∴点C在一次函数y＝﹣ax的图象上； （2）存在． ∵点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上， ∴y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2）， ∵满足 ∴， 整理，得 ， ∴ ∴， 解得k＝±4， 经检验：k＝±4是原方程的根， ∴整数k的值为±4． （3）∵点E是二次函数图象上一动点， ∴E（n，an2﹣2an）， ∵EF∥y轴，F在一次函数图象上，∴F（n，﹣an）． ①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝ ∵a＞0， ∴当n＝﹣1时，EF有最大值，且最大值是2a， 又∵0＜a≤2， ∴0＜2a≤4，即EF的最大值是4； ②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝此时EF的最大值是 ， 又∵0＜a≤2， ∴0＜ ≤ ，即EF的最大值是； 综上所述，EF的最大值是4． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，A（0，4），C（－4，0），D是OC中点，E是直线AD上的一动点，以OE为边作正方形OFGE（顺时针标记），连结FC交AE于点H (1)当D与E重合时，求直线FC解析式； (2)连结OH，求△AOH的面积； (3)设E的横坐标为t，若△HFE与△OAD相似，请求出t的值 【答案】(1)y＝x－2 (2) (3)或或或 【分析】(1)当D与E重合时，可得点E在x轴上，F在y轴上，根据正方形性质：OF=OE=2，可得F的坐标，利用待定系数法可得结论； (2)连接OH，可证得，可证得，可求得直线AD的解析式为y=2x+4，由可求得点H的坐标，再由即可求得； (3)由(2)知∠FHE90°，表示出E(t,2t+4)；当△HFE与△OAD相似时，存在两种情况：①△AOD∽△FHE；②△AOD∽△EHF；存在四种位置关系，画图分别根据对应边的比：，列比例式可得t的值，可得结论． 【详解】（1）解：当D与E重合时，E(-2,0)，即点E在x轴上 点在y轴上 四边形OFGE是正方形 设直线CF的解析式为y=kx+b 把F点、C点的坐标分别代入，得 ， 解得 直线FC的解析式为； （2）解：如图：连接OH 四边形OFGE是正方形 ， ，即 又 又 为定直线，点H为定点， 直线AD的解析式为 把A、D的坐标分别代入，得 ， 解得 故直线AD的解析式为y=2x+4 ， 解得 （3）解：由题意得 当△HFE与△OAD相似时，存在两种情况： ； 如图：点E在x轴下方时，连接EF，过点E作于点M 当时，， 是等腰直角三角形 则 解得(此时M与C重合) 如图：当E在x轴上方时，过点E作轴，过H作轴，过F作于N 可得 ， 解得 当时， 如图：过点E作轴，交x轴于点P，过点H作轴，过点F作于点N，过点H作轴于点Q 设，则， ，即 解得 ，， 可证得， ， 解得 当时，如图： ， 解得 综上，t的值为或或或． 【点睛】本题是二次函数和四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、正方形的性质、