第15讲 证明不等式之虚设零点-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第15讲证明不等式之虚设零点 【典型例题】 例1.己知函数f(x)=xe-a(x+lnx),aeR. (1)当a=1时，求函数f(x)的单减区间； (2)若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围： (3)设无是f(x)的极小值点，且f(x)0,证明：f(x)2(x-x). 【解析】解：(1)a=1时，f(x)=xe--x-lnr,f(x)的定义域是(0，+o), f)=+（xe-), 令g(x)=xe-1,g'(x)=(r+1)e>0, g(x)在(0，+∞)递增，而g(1)=0,即f"(x)=0, 故x∈(0,1)时，f"(x)<0，x∈(L,+o)时，f'(x)>0, 故f(x)在(0，)递减： (2)函数f(x)=xe-a(x+lmx),aeR. f=+(e4-a,x>0. 令g(x)=xe-a, 则g'(x)=(x+1)e>0, g(x)在(0，+o0)上是增函数 又，当x→0时，g(x)→-a，当x→+0时，g(x)→+0。 ∴当a0时，g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)在区间(0，+o)上是增函数，不存在极值点： 当a>0时，g(x)的值域为(-a,+o),必存在x>0,，使g(x)=0. 当xe(0,x)时，g(x)<0,f"(x)<0,f(x)单调递减 当x∈(x,+o)时，g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增： f(x)存在极小值点。 综上可知实数a的取值范围是(0，+o) 证明：(3)由(1)知x,e0--a=0,即a=x,e-1 .lna=lnx。+xo-1, f(x)=xe-(1-x。-lnx). 由f(x)0,得1-x。-lnx。0. 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 令g(x)=1-x-lnx,由题意g(x)在区间(0，+o)上单调递减. 又g(1)=0,由f(x)0,得0<x01, 令H=r-r-1,(x>0),则H09)=1-1=x-1, xx 当x>1时，H'(x)>0,函数H(x)单调递增： 当0<x<1时，H'(x)<0,函数H(x)单调递减： 当x=1时，函数H(x)取最小值H(1)=0, .H(x)=x-lmr-10,即x-1nx,即ex, e-1x>0,1-x。-1nx1-x0-(。-1)=21-x)0, f(xn）=xe-(1-x-lm）x后·21-x）=2(x-x) f(x)2(x-x). 例2.已知函数f(x)=2e'-ax(a>0),g(x)=2x2-4. (1)讨论函数f(x)的零点个数； (2)设a4,证明：当x0时，f(x)>g(x). 【解析】解：(1)当x=0时，f(0)=2, 当x≠0时，f(x)=2e2-ax=0,即a=2E 设g)=2e ÷gw=2ex-) 当x<1且x≠0时，g'(x)<0,即g(x)在(-0,0)，(0,1)上单渊递减， 当x>1时，g'(x)>0,即g(x)在(，+o)上单调递递增， 当x=1时，g(x)小推=g(1)=2e, 当x→-0时，g(x)→0，当x→+0时，g(x)→+0 分别画出y=f(x)与y=a的图象，如图所示， 结合图象可得，当a=2e时，y-f(x)与y=a的图象只有一个交点，即函数f(x)只有一个零点， 当0<a<2e时，y=f(x)与y=a的图象没有只有交点，即函数f(x)没有零点， 当a>2e时，f(x)与y=a的图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点.。 (2)证明：当x=0时，f(0)=2>g(0)=-4,此时a取任何数都成立， 2e-2x+x' 当x+0时，要证当x>0时，f(x)>g(x),只要证2e-ar>2x2-4,即证a< 4 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 a4, :只要证2C-2x+4>4,x>0, 只要证2e-2x2+4-4x>0,即i证e-x2+2-2x>0 设h(x)=e'-x2+2-2x,x>0, h'(x)=e-2x-2, 令p(x)=e-2x-2,x>0, .0'(x)=e-2, 当x>ln2时，p'(x)>0,函数p(x)在(n2,+o)上单调递增， 当0<x<lm2时，p'(x)<0,函数p(x)在(0，ln2)上单调递减， (x)=(In2)=-2in2<0, p(x)<g(0)=-1<0,0(1)=e-4<0,9(2)=e2-6>0, 存在x。∈(1,2)，使得h'(x)=p(x)=e-2x。-2=0, ·当x∈(0，x)时，(x)<0,函数(x)单调递减， 当x∈(x,