第01讲 直接讨论法-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

第01讲 直接讨论法 【典型例题】 例1．已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 例2．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 例3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 例4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 例5．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 例6．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【同步练习】 1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 2．已知函数． （1）当求曲线在，（1）处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围． 3．已知函数，． （1）证明：当时，； （2）若，求． 4．已知点，，，为坐标原点，设函数． （1）当时，判断函数在上的单调性； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 5．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 6．已知函数． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 7．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若无最小值，求实数的取值范围． 8．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直接讨论法 【典型例题】 例1．已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】解：（1）， ①时，在恒成立，故在单调递减， ②时，由，解得：， 由，解得：， 故在单调递增，在单调递减； （2）由（1）可得，当时，在单调递减， ， 当时，在单调递增，在单调递减， （a）， 令（a），， 易知函数（a）在单调递增， 又（1）， 当时，（a），即，满足题意， 当时，（a），即，不满足题意， 综上所述的取值范围为，． 例2．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】解：（1），定义域为，． 当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减； 当时，，此时在上单调递减； 当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可知： 当时，，解得； 当时，，在上恒成立； 当时，， 即，解得． 综上所述，． 例3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】解：（1）， 当时，，又， 故，递增， 当时，令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增； （2），即， 时，递增，恒成立， 时，， 故， 令（a），（a）， 故（a）递减，又， 故， 综上：，． 例4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】解：（1）函数的定义域为， ①若，则，在单调递增． ②若，则由得． 当时，；当，时，， 所以在单调递减，在，单调递增． ③若，则由得 当，时，；当，时，， 故在，单调递减，在，单调递增． （2）①若，则，所以． ②若，则由（1）得，当时，取得最小值， 最小值为．从而当且仅当， 即时，． ③若，则由（1）得，当时，取得最小值， 最小值为． 从而当且仅当，即时． 综上，的取值范围为，． 例5．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】解：（1）由， 当时，，则在上递减， 当时，令得（负根舍去）， 令得；令得， 所以在上递增，在上递减． （2）当时，，符合题意， 当时，，因为，所以， 所以，所以， 当时，在上递减， 且与的图象在上只有一个交点， 设此交点为，，则当时，，故当时，不满足， 综上，的取值范围为，． 例6．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】解：（1）， ， ①当时，恒成立， 在上单调递增， ②当时，，令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ③当时，，令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递减，在，上单调递增， （2）①当时，恒成立， ②当时，由（1）可得， ，， ③当时，由（1）可得： ， ， ， 综上所述的取值范围为，． 【同步练习】 1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】解：（1），， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）若，因为， 取，则， ，， 此时，故此时不可能恒成立． 若，此时恒成立． 若，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值在处取到，即（a）， 而． 显然当时，，，此时（a）． 当时，，，此时（a），故此时． 综上所述，的取值范围为，． 2．已知函数． （1）当求曲线在，（1）