微专题08 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 微专题08巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：单模长最值问题 题型二：多模长之和差最值问题 题型三：模长的范围问题 【典型例题】 题型一：单模长最值问题 例1.(2023陕西榆林高二陕西省神木中学校考阶段练习)已知复数z=x+i(x,y∈R,i为虚数单位)满足 :-41=2,则z的最小值为() A.2 B.1 C.2 D.4 【答案】A 【解析】因为z-41=2, 所以复数z对应的点的轨迹是以(0,4)为圆心，2为半径的圆， 所以|zm。=4-2=2 故选：A 例2.(2023全国·高一专题练习)己知复数z满足：2=z-(2+2,则2的最小值是() A.1 B.√2 C.3 D.2 【答案】B 【解析】由复数模的几何意义知满足=z-(2+2的z对应的点Z在以点00,0)和A(2,2)为端点的线段的 中垂线I,OA的中点为B(L,), 的最小值就是原点到直线I的距离即为O8=√2， 故选：B. V B 例3.(2023上海闵行上海市七宝中学校考模拟预测)若：+1-=1，则的最大值与最小值的和为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【答案】25 【解析】由几何意义可得：复数z表示以(-山，1)为圆心的半径为1的圆， 则e[2-l2+1]→An+以=22 故答案为：22 变式1.(2023春·上海闵行高一上海市七宝中学校考期末)在△ABC中，BC=4BD,E为AD的中点，过 点E的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,设AB=mAM,AC=nAN,复数 z=m+ni(m,neR),则|z取到的最小值为_， 【答案】40 【解析】 D 在△ABC中，因为BC=4BD, 所以而=丽+丽=店+号c=6+C-丽到=丽+}4C 又AB=mA,AC=nAN,所以D-mA+nN 因为E为AD的中点，所以花-}D=3mAM+nAN 8 因为ME、N三点共线，所以m+l,即n=8-3m, 88 复数z=m+mi(m,neR),所以=Vm2+m=Vm2+(8-3m=V10m2-48m+64, 令y=10m2-48m+64=10m- 12232 5 故当m=2 取最小值， 32_410 5 5 故答案为： 410 5 变式2.(2023高一课时练习)已知复数，=c0s0+i和：=1-isin0,1为虚数单位，求名-z广的最大值和 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 最小值。 【解析】复数3=cos0+i和z2=1-isin日，则 z=cos0-1+(1+sin0)i=(cos0 -1)+(l+sin0)2 =3-2co0+2sm0=3+25sn0-到 由-1≤sm0-s1,可得3-2W5≤3+22sim0-买s3+25 则-z,的最大值3+2√2，最小值3-2√2 题型二：多模长之和差最值问题 例4.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马(1601-1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知 一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已 知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当aABC的三个内角均小于120°时，则使得 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.根据以上材料，若z∈C,则z-2+2+2+z+2i的最小 值为() A.25-2 B.2V5+2 C.√5-1 D.V5+1 【答案】B 【解析】设z=x+i(化y∈R),则2-2+2+2+z+2i表示点Z(x,y)到△ABC三顶点A(-2,0)、B2,0) C(0,-2)的距离之和 依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB=120°，则∠PAO=∠PBO=30° 此时lPA+|PBl+PC= 030×2+2-2m30）=2W5+2 故选：B y B P 例5.(2023高一课时练习)已知复数z满足|z=3,则1z+41+z-4的取值范围是 【答案】[8,10] 3 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【解析】复数：满足引z上3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆， 则z+4|+|z-4|的表示圆上的点到(-4,0)和(4,0)的距离， 由图象可知， BE寸dG代 当点在E,G处最小，最小为：4+4=8， 当点在D,F处最大，最大为2V3+42=10, 则|z+4|+|z-