专题04 解三角形之面积和周长的最值问题（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】冲刺2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题03 解三角形之面积和周长的最值问题 目录一览 一、梳理必备知识 二、基础知识过关 三、典型例题讲解 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 六、高考真题衔接 一、梳理必备知识 1.正弦定理 .（其中为外接圆的半径） （边化角） （角化边） 2.余弦定理： 3.三角形面积公式： = 4.三角形内角和定理： 在△ABC中，有. 5.基本不等式（优先用基本不等式） ① ② 6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。 【常用结论】 ①在中， ② ③在三角函数中，不成立。但在三角形中，成立 二、基础知识过关 一、判断题 1．已知实数a和b，判断下列不等式中哪些是正确的． （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4）；( ) 二、单选题 2．若，，且，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 5．已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 三、填空题 6．已知a、，且，则ab的最大值是____________. 7．若，则的最小值为_________. 三、典型例题讲解 【典例1】若，，求的最大值．建议使用两种方法来解决： 法一：余弦定理＋不等式． 法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式． 【典例2】若，，求周长的取值范围．建议使用两种方法来解决： 法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系． 法二：正弦定理＋辅助角公式． 【典例详解】 【典例1】 【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得最大值； 方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值. 解：方法一：由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， （当且仅当时取等号），的最大值为； 方法二：由正弦定理得：， ； ，，，， ，的最大值为. 【典例2】 【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果； 方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果. 解：方法一：由余弦定理得：， 又（当且仅当时取等号），， 解得：（当且仅当时取等号）， 又，，周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理得：， ， ，，，， 即周长的取值范围为. 解题技巧：最值问题两个角度，一个是利用基本不等式的变形应用，一个是从函数的角度考虑，利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值，特别注意定义域的范围！ 四、解题技巧实战 【技巧实战1】 1．（2023·湖南张家界·统考二模）记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的面积的最大值. 【技巧实战2】 2．（2023·全国·高三专题练习）若，，求锐角面积的取值范围 【技巧实战3】 3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为． (1)求的长； (2)求四边形周长的最大值． 【技巧实战4】 4．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求角C和边c的大小. (2)求周长的范围. 五、跟踪训练达标 1．（2023·湖南张家界·统考二模）记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的面积的最大值. 2．（2023·河南郑州·统考一模）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且． (1)求角的大小； (2)若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值． 3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)设是边上的高，且，求面积的最小值. 4．（2022·山东聊城·统考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若b=4，求周长的最大值. 5．（2022·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. (1)求角B； (2)若，求的面积，求的周长l的取值范围. 6．（2022·福建泉州·统考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知 (1)求A； (2)若，求的周长