专题02 平面向量的基本定理及坐标运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题02 平面向量的基本定理及坐标运算 知识点1 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 4、平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点2 平面向量的坐标运算 1、向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 知识点3 线段的定比分点及λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () 1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. 2、点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. 3、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 知识点4 平面向量数量积的坐标表示 1、向量数量积的坐标运算：若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示的三个重要公式 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 考点1 对基本定理的概念理解 【例1】（2022·江苏·高一专题练习）（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则． 【变式1-1】（2022春·高一课时练习）下列说法错误的是（ ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 【变式1-2】（2022·高一课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量. B．在平面向量基本定理中，若，则. C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是. D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的. 【变式1-3】（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得 D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0 考点2 基底的判断 【例2】（2023春·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校考阶段练习）设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）（多选）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2