专题16 正方形（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年八年级数学下册重要考点题型精讲精练(沪科版)

专题16 正方形 【思维导图】 1、定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. ◆正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形； ◆正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形. 2、性质： ◆具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即 ①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④正方形式轴对称图形，有四条对称轴； 3、 正方形的面积计算：①边长的平方；②对角线平方的一半； 4、 正方形特有的性质： ①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形； 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等四边形中，正方形的面积最大. 正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 平行四边形、矩形、菱形、正方形间转化关系和包含关系 ◎考点题型1：根据性质求角 例．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形中，在延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2020秋·山西·九年级统考阶段练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP=OB，则∠COP的度数为（   ） A．15° B．22.5° C． D． 变式2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 变式3．（2021·河北·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF=25°，则∠AED的度数为（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° ◎考点题型2：根据性质求线段长 例．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm 变式1．（2022秋·河南平顶山·九年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（    ） A． B．3 C． D． 变式2．（2022·重庆·校联考模拟预测）如图所示，E是正方形的对角线上一点，于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（2022·重庆·西南大学附中校考模拟预测）在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段OC上，点F是AB的中点，连接EF交DB于点M，连接DF交AC于点G，连接EB，若，则EF的长为（    ） A． B． C． D． ◎考点题型3：根据性质求面积 例．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点在正方形内，且，，，则阴影部分的面积是（    ）． A．12 B．15 C．19 D．25 变式1．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，D是中点，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，．若，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．9 C． D．6 变式2．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（    ） A．1 B．4 C．6 D．9 变式3．（2020春·浙江杭州·八年级期中）如图，在正方形内有一个四边形，，且，，则图中阴影分的面积为（    ） A．100 B．104 C．152 D．304 ◎考点题型4：正方形折叠问题 例．（2020春·湖北武汉·八年级武汉市第十一中学校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝EC，则线段CH的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．