5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

导数的概念及其 几何意义 第五章 一元函数的导数及其应用 选择性必修第二册 授课人：XXX 第1课时 image: Freepik.com 1 学习目标 1 能从具体案例中抽象概括出导数的概念. 能根据导数的定义求简单函数的导数，能归纳出根据导数定义求函数导数的步骤. 进一步体会导数的内涵与意义，进一步体会极限思想. 2 3 核心素养 数学抽象 函数的平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念. 1 数学运算 根据导数的定义求简单函数的导数. 2 课程导入 前面我们研究了两类变化率问题： 一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. ①跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 ② 抛物线的切线的斜率 割线斜率 切线斜率 课程导入 问题1 以上两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了什么相同方法呢？ 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. 平均变化率 瞬时变化率 逼近 导数的概念 01 问题探究 问题2 类比前面所研究的两类变化率问题，对于函数，自变量从变化到这一过程中，函数值的平均变化率该如何表示？ 由前面所研究的两类变化率问题可知， ①跳水运动员的速度 平均变化率 ② 抛物线的切线的斜率 平均变化率 问题探究 对于函数， 自变量从 函数值就从 的变化量为：. 的变化量为：. 函数从到的平均变化率为： 问题探究 问题3 函数在的瞬时变化率又该如何表示？ 根据前面所学可知， 当，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于. ①跳水运动员的速度 瞬时变化率 问题探究 问题3 函数在的瞬时变化率又该如何表示？ 当，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率 都无限趋近于. ② 抛物线的切线的斜率 瞬时变化率 即当时，平均变化率一定会无限趋近于一个确定的值. 问题探究 问题4 对于函数，当时，平均变化率 是否会无限趋近于一个确定的值？ 举例 在附近的变化情况 当时， ， 当时， . 当时，平均变化率 不一定能无限趋近于一个确定的值. 导数的概念 导数 如果当时，平均变化率 无限近于一个确定的值，即 有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称瞬时变化率）. 或，即. 记作 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度. 作用 导数的概念 实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等. 运动员在时的瞬时速度， 函数在处的导数. 抛物线在点处的切线的斜率， 函数在处的导数. 问题1 问题2 导数的概念 问题5 函数在处的导数一定存在吗？ 不一定. 当时，若极限 存在，则称函数在处可导； 若极限 不存在，则称函数在处不可导或无导数. 导数的概念 问题6 函数在处的导数的定义式. 设函数在处可导，则当时， 的值与，都有关吗？ 函数在处的导数 只与 有关，与 无关. 函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，是常量，不是变量. 求函数在x=x0处的导数 02 例题解析 设，求 . 例1 解： 例题解析 问题7 求函数在处的导数的步骤是什么？ 第一步，写出函数的平均变化率 并化简； 第二步，求极限 ，若存在，则导数 . 例题解析 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第h时，原油的温度(单位：℃)为. 计算第h与第h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 例题解析 解： 在第h和第h时，原油温度的瞬时变化率就是和. 根据导数的定义， 所以 同理可得 例题解析 表示在第h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h. 这说明在第h附近，原油温度大约以℃/h的速率下降. 一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况. 导数（瞬时变化率）为负，体现了下降的变化趋势. 表示在第h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h. 这说明在第h附近，原油温度大约以℃/h的速率上升. 导数（瞬时变化率）为正，体现了上升的变化趋势. 例题解析 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设s时汽车的速度(单位：m/s)为，求汽车在第s与第s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 分析 瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率. 因此，第s与第s时，汽车的瞬时加速度分别为，. 例题解析 解： 在第s与第s时，汽车的瞬时加速度就是和. 根据导数的定义， 所以 同理可得 例题解析 表示在第s时，汽车的瞬时加速度为 m/s2. 这说明在第s附近，汽车的速度每秒大约增加 m/s. 表示在第s时，汽车的瞬时加速度为 m/s2. 这说明在第s附近，汽车的速度每秒大约减少 m/s. 导数（瞬时变化率）为负