专题18 等腰三角形中的半角模型-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

令学科网 学科网原创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题18等腰三角形中的半角模型 1,如图1，在△ABC中，∠A8C=∠ACB=60°，△BDC是等腰三角形且BD=CD,∠BDC=120°， 以D为顶点作∠MDN=60°，交边AB,AC于M,N两点，延长AC到点E,使得CE=BM,连 接MN、DE. (1)试说明：①△MBD=△ECD:②MN=BM+NC: (2)如图2，若点M是AB的延长线的一点，N是CA的延长线上的点，点E在线段AC上，其他 条件不变，探究线段BM,MN,NC之间的关系，并说明理由 M B 0 D ① ② 【解答】解：(1)①延长AC至E,使得CE=BM(或延长AB至E,使得BE=CN),并连接DE △BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， .BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°， 又BD=DC,且∠BDC=120°， ∠DBC=∠DCB=30 ∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°， .LMBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， BD=CD ,∠MBD=∠ECD, EC=BM .△MBD兰△ECD(SAS). 2.△MBD兰△ECD(SAS) 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 :MD DE ZBDM Z CDE,BM =CE, 又：∠BDC=120,∠MDN=60°， ∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°， LCDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°， ∠MDN=∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， DM=DE ∠MDN=∠NDE, DN=DN ∴.△DMN兰△DEN(SAS), :M N E N 又：NE=NC+CE,BM=CE, :M N B M N C (2)如图②中，结论：MN=NC-BM. 理由：在CA上截取CE=BM, :△ABC是正三角形， LACB=LABC=60°， 又：BD=CD,LBDC=120°， ∠BCD=LCBD=30°， LMBD=LDCE=90°， 在△BMD和△CED中 EC=BM ,·∠MBD=∠DCE, BD=DC .△BMD兰△CED(SAS), :DE DM 在△MDN和△EDN中 2 人原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ND=ND ∠EDN=∠MDN, MD=ED .△MDN兰AEDN(SAS), :MN NE N C CE NC -BM D D ① ② 2.如图，点M,N分别是等边△ABC边AB,CA的延长线上的点，D为△ABC外一点，且 ∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC, 求证：NC=BM+MN, D 【解答】证明：在CN上截取点E,使CE=BM,连接DE, :△ABC为等边三角形， ∠ACB=∠ABC=60°， 又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°， BD=DC,∠DBC=LBCD=30°， LABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=LECD=90°， 在△MBD和△ECD中， BD=DC,∠MBD=∠ECD,BM=EC, 六AMBD=△ECD(SAS), 3 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 MD=DE,∠MDB=∠EDC, 又∠MDN=60°，∠BDC=120°， ,∠EDN=∠BDC-(∠BDN+∠EDC)=∠BDC-(∠BDN+∠MDB)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°， ∠MDN=∠EDN, 在△MND与△END中， ND N D Z M D N Z E D N MD D E ∴.△MND兰△END(SAS), :M N NE :CN NE CE M N BM 3.(1)如图1，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G ,使DG=BE,连接EF,AG,求证：EF=FG, (2)如图2，等腰直角三角形ABC中，LBAC=90°，AB=AC,点M,N在边BC上，且 ∠MAN=45°，若BM=1,CN=3,求MN的长， M D G 图1 图2 【解答】(1)证明：在正方形ABCD中， ∠ABE=LADG，AD=AB, 在△ABE和△ADG中， (AD=AB ∠ABE=∠ADG DG=BE 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 .AABE=△ADG(SAS), ∠B