9.1.1变量的相关性-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

第九章 统计 9.1.1变量的相关性 目标导航 课程标准 重难点 1.通过实例，能够理解两个变量的线性相关关系以及 正相关、负相关. 2.利用给出的数据会画两个变量的散点图，通过散点 图能够判断出两个变量的相关性. 3.了解两个随机变量间的相关系数r，会利用公式求 相关系数r，并能利用相关系数r判断两个随机变量间线性相关程度的强弱. 重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征； 难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义． 知识精讲 知识点01 变量的相关关系 1.相关关系的概念∶我们所研究的很多问题中，两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系．这些关系常见的有两类∶函数关系和相关关系． [概念辨析]相关关系与函数关系的异同∶ 异同点 关系 函数关系 相关关系 相同点 两者均是两个变量之间的关系 不同的 是一种确定性关系 是一种非确定性关系 是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系 是一种理想的关系 是更为一般的情况 2.散点图 （1）概念∶一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据（简称为成对数据），如下表所示： 序号i 1 2 3 ... n 变量x x1 x2 x3 ... xn 变量y y1 y2 y3 ... yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点（xi，yi），i=1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图. （2）作用∶散点图展示了样本点散布的位置．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论. 注意： （1）散点图具有直观、简明的特点，我们可以根据散点图来判断两个变量有没有相关关系； （2）通过散点图不但可以判断测量值的大小、变动范围与整体趋势，还可以通过观察剔 除异常数值，提高估计相关程度的准确性； （3）当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时，可在实际作图时，将 横坐标与纵坐标取不同的单位长度，使画出的散点图形象、美观. 3.正相关与负相关 （1）从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称 这两个变量正相关，散点图如图（甲）所示； （2）从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，称这 两个变量负相关，散点图如图（乙）所示. 4. 线性相关与非线性相关∶ （1）线性相关∶如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，称这两个变量线性相关 （2）非线性相关∶如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，就称这两个变量非线性相关或曲线相关.【即学即练1】下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（） A. 瑞雪兆丰年B.上梁不正下梁歪C. 吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 【即学即练2】（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）下列关于散点图的说法中，正确的是（    ） A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系 C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况 知识点02 相关系数 1.定义：统计学里，一般用来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数（简称为相关系数）. 2.性质： 可以证明，相关系数r具有以下性质∶ （1） |r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0； （2）|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况； | r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值. （3）|r| =1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 注意：（1）样本的相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确给出有无必要建立两变量间的回归方程； （2）|r|很小只是说明两个变量之间的线性相关程度弱，但不一定不相关. 【即学即练3】（多选）（2021春·河北衡水·高二校联考阶段练习）关于相关系数r，下面说法正确的是（    ） A． B．若，则两个变量线性不相关 C．若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势 D．越小，变量之间的线性相关程度越高 【即学即练4】（2017春·天津红桥·高二统考期中）关于相关系数，下列说法错误的是（    ） A．当时，表明两个变量正相关 B．当 时，表明两个变量负相关 C．的绝对值大于时，认为两个变量有很强的线性相关性 D．的绝对值越接近于1，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系 能力拓展 ◆考点01 相关关系与函数关系的辨析 【典例1】（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（    ） A．中的x，y是具有相关关系的两个变量