专题13 复数的三角表示-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）

令学利四 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题13复数的三角表示 知识重现 1复数的三角表达式 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+isin0)的形式.其中，r是复数的模：0是复数 z=a+bi的辐角.rcos0+isin0)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式. 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相回，金弦前，迦号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边 复数的辐角 的角，叫做复数z=a+bi的辐角。 辐角的主值：0≤0<2π，记作：argz 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模； 2.确定辐角的主值： 3.写出其三角形式 2.复数三角形式的乘除法及其几何意义 设z,2,的三角形式分别是：云=r(cos0,+isin0,),2=5(cos02+isin0,), 乘法 除法 公式 a23=r5[cos(0,+0,)+isin(0+0,] 4[cos(0,-0,)+isim(8,-0,] 简记 模数相乘，幅角相加 模数相除，幅角相减 把复数：对应的向量OZ绕原点逆时针旋转 把复数：对应的向量O绕原点顺时针旋转 几何意义 2的一个辐角，长度乘以z。的模，所得向量 ,的一个辐角，长度除以z,的模，所得向量 对应的复数就是z·2。 对应的复数就是三 0 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 考点预览 考点一 复数三角形式 1.复数代数形式表示成三角形式 2.复数三角形式的概念 考点二 复数三角形式的乘除运算 1.复数三角形式乘法运算及几何意义 2.复数三角形式除法运算及几何意义 题型展示 考点一复数三角形式 1.复数代数形式表示成三角形式 例1.（1984全国高考真题)复数{5；的三角形式是（) 22 Aw}im(到 B.cos+isin 3 3 c. cos-isin D.cos+isin 3 3 3 6 【答案】A 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式 【】由c的-受=5则 ）= 3 2 1 i=cos3匹+isin 5π 22 3 =cos(2-)+isin(2)cos)+isin 故选：A 练习1.(2023春·全国高一专题练习)（多选）以下不是复数-1-√3ī的三角形式是（) A.-2 cos+isin 3 3 B.2coe)isin C. 2sin7+icos7 7π 6 6 D. 6 量原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【答案】AD 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式。 【详解1解：-号-m(引 所以B正确，而 ,故C正确 6 故选：AD 练习2.(2023全国高一专题练习)将复数化为三角形式：- 【答案】 2 c084 7元 4 【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可 【1解：复数宁方中 7π=V2 又c0 n7π2 sin- 42 4 所以{i=2cos7+isin2 7π -i= COS- 22 2 4 4 故答案为： V2 2 7元+isi 7π 练习3.(2023全国高一专题练习)-3cos+isin 是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示成三角 5 5 形式 s6+isin 【答案】不是三角形式，三角形式表示为30 5 【分析】根据三角形式的定义判断，再根据三角形式的结构确定辐角主值即可求解 【详解】因为三角形式是形如r(cos0+isin0),r20的形式， 所以-3cos+i π 不是三角形式， 5 因为-3cos+isin 5 ，5/=3-cosE-isin5J 5 且-cos7=cos 6 6 5 5 所以-3cos+isin 5 5=3 cos x+isin- 5 即复数的三角形式为o+1m 练习4.(2023春·全国高一专题练习)将下列复数化为三角形式： 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)-5+i: (2)-1-3i: 6)-2cos+isin2） 5 (④2sin+icos 5 5 【答案】()2(cos +isin5红 6 (224eos号+isin45) 3 ⑧j2cmg+ioi号 5 3π (4)2(c0s "10 【分析】求出各复数的模和辐角，化简成r(cos0+isin0)的形式即可得解 【i详解】(1)-5+i2cos5红+isin5π) 6 6 (2）)-1-